Вычислить криволинейный интеграл Ly2+1ydx-xy2dy

Вычислим криволинейный интеграл по отрезку L=AB прямой от точки A1;2 до точки B2;4. Напишем уравнение прямой, которая содержит отрезок AB. Составим его по двум точкам:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA
x-12-1=y-24-2
x-11=y-22
2x-1=y-2
y=2x
Сделаем чертеж
Способ первый, осуществляем переход к интегрированию по переменной x . Пределы интегрирования, будут соответствовать «иксовым» координатам точек A1;2 и B2;4, при этом принципиально важен порядок – интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 2.
Возьмем уравнение линии y=2x и находим дифференциал:
dy=d2x=2x'dx=2dx
Подставим y=2x и dy=2dx в подынтегральное:
ABy2+1ydx-xy2dy=122x2+12xdx-x2x2∙2dx=
=124x2+12xdx-x2x2dx=124x3+x2x2-x2x2dx=124x32x2dx=
=122xdx=212xdx=2∙x2212=2∙222-122=2∙32=3
Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной y