Вычислить длины дуг кривой а) y=xx 0≤x≤1

А) y=xx;0≤x≤1
Длина дуги вычисляется по формуле:
L=ab1+y'2dx
y'=xx'=x3'=12x3*x3'=3x22x3=3x2
y'2=3x22=94x
Подставляем в формулу:
L=011+94xdx=t=1+94xdt=94dxx1=0;t1=1x2=1;t2=1+94=134=491134tdt=49*23t31134=827t31134=8271343-82713=132713-827
б) x=13t3-ty=t2+2 0≤t≤3
Длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой:
L=t1t2xt'2+yt'2dt
Из уравнения кривой находим:
xt'=13t3-t'=t2-1
yt'=t2+2'=2t
L=03t2-12+2t2dt=03t4-2t2+1+4t2dt=03t4+2t2+1dt=03t2+12dt=03t2+1dt=t33+t03=333+3-0=12
в) ρ=31+sinφ;0≤φ≤π6
Найдем производную:
r'=31+sinφ'=3cosφ
Пределы интегрирования 0;π6 поскольку задана кривая замкнутая в этих пределах.
Длину дуги найдем по формуле:
l=φ1φ2r2+r'2dφ
l=0π631+sinφ2+3cosφ2dφ=0π69sin2φ+18sinφ+9+9cos2φdφ=0π618+18sinφdφ=180π61+sinφdφ=180π62sin2φ2+π4dφ=360π6sinφ2+π4dφ=60π6sinφ2+π4dφ=6*-2cosφ2+π40π6=-12cosφ2+π40π6=-12cosπ62+π4--12cos02+π4=62-6