Временные ряды в эконометрических исследованиях

1) Построим график ряда динамики (рисунок 2).
Рисунок 2 – график ряда динамики
На графике отчетливо видно, что расстояние изменяется под воздействием сезонных колебаний. Построение аддитивной модели начнем с выделения сезонной компоненты временного ряда.
Результаты расчета сезонной компоненты представлены в таблице 6. Среднее значение по всем 24-ем наблюдениям равно 7,116.
Таблица 6
Расчет сезонной компоненты аддитивной модели
Год/ месяц 1 2 3 4 5 6
1963 5,327 4,678 5,584 6,762 7,062 8,144
1964 5,769 5,275 6,319 6,871 7,569 8,748
среднее по кварталу 5,548 4,977 5,952 6,817 7,316 8,446
St
-1,568 - 2,140 - 1,165 - 0,300 0,199 1,330
Продолжение таблицы 6
Год/ месяц 7 8 9 10 11 12
1963 8,566 9,268 8,463 6,694 5,348 6,080
1964 9,530 9,382 8,733 7,609 6,185 6,825
среднее по кварталу 9,048 9,325 8,598 7,152 5,767 6,453
St
1,932 2,209 1,482 0,035 -1,350 -0,664
Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда, результаты расчетов представим в таблице 7.
На основании данных таблицы 7, определим параметры линейного тренда:
b=41,0341 150=0,036;
a=170,79124=7,116.
Таким образом, уравнение тренда имеет вид:
T = 7,116 + 0,036 × t.
2) Полученное уравнение временного ряда может быть использовано для краткосрочного прогнозирования . Так, если необходимо спрогнозировать значение расстояния, пройденного самолетами Великобритании на февраль 1965 года, то определим t = 13,5, так как декабрь 1964 года t = 11,5, а январь 1965 года t = 12,5. Подставим значение t в уравнение тренда:
T = 7,116 + 0,036 × 13,5=7,598 млн. миль.
С учетом того, что сезонная компонента равна для 2 - го месяца равна (- 2,140), получим окончательно:7,598+-2,140=5,458 млн. миль.
Таким образом, в феврале 1965 года прогнозируется расстояние, пройденное самолетами Великобритании равное 5,458 млн. миль.
Таблица 7
Расчет аддитивной модели
i yi
Si
zi=yi-Si
∆i t t² zt
Т Е Е/у |Е/у|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 5,327 - 1,568 6,895 - -11,500 132,250 - 79,296 6,706 0,189 0,036 0,036
2 4,678 - 2,140 6,818 - 0,077 - 10,500 110,250 - 71,587 6,742 0,076 0,016 0,016
3 5,584 - 1,165 6,749 -0,069 - 9,500 90,250 - 64,114 6,777 - 0,029 -0,005 0,005
4 6,762 - 0,300 7,062 0,313 -8,500 72,250 - 60,025 6,813 0,249 0,037 0,037
5 7,062 0,199 6,863 - 0,199 -7,500 56,250 - 51,471 6,849 0,014 0,002 0,002
6 8,144 1,330 6,814 - 0,048 - 6,500 42,250 - 44,293 6,884 - 0,070 - 0,009 0,009
7 8,566 1,932 6,634 - 0,180 - 5,500 30,250 - 36,489 6,920 - 0,286 -0,033 0,033
8 9,268 2,209 7,059 0,425 - 4,500 20,250 - 31,767 6,956 0,104 0,011 0,011
9 8,463 1,482 6,981 - 0,078 - 3,500 12,250 - 24,435 6,991 - 0,010 - 0,001 0,001
10 6,694 0,035 6,659 - 0,323 -2,500 6,250 - 16,647 7,027 - 0,368 - 0,055 0,055
11 5,348 - 1,350 6,698 0,039 - 1,500 2,250 - 10,047 7,063 - 0,365 - 0,068 0,068
12 6,080 -0,664 6,744 0,046 - 0,500 0,250 - 3,372 7,098 - 0,355 - 0,058 0,058
13 5,769 - 1,568 7,337 0,594 0,500 0,250 3,669 7,134 0,203 0,035 0,035
14 5,275 - 2,140 7,415 0,078 1,500 2,250 11,122 7,170 0,245 0,046 0,046
15 6,319 - 1,165 7,484 0,069 2,500 6,250 18,709 7,205 0,278 0,044 0,044
16 6,871 - 0,300 7,171 - 0,313 3,500 12,250 25,098 7,241 - 0,070 - 0,010 0,010
17 7,569 0,199 7,370 0,199 4,500 20,250 33,164 7,277 0,093 0,012 0,012
18 8,748 1,330 7,418 0,048 5,500 30,250 40,801 7,313 0,106 0,012 0,012
19 9,530 1,932 7,598 0,180 6,500 42,250 49,389 7,348 0,250 0,026 0,026
20 9,382 2,209 7,173 -0,425 7,500 56,250 53,800 7,384 - 0,211 - 0,022 0,022
21 8,733 1,482 7,251 0,078 8,500 72,250 61,636 7,420 - 0,168 - 0,019 0,019
22 7,609 0,035 7,574 0,322 9,500 90,250 71,951 7,455 0,119 0,016 0,016
23 6,185 - 1,350 7,535 - 0,039 10,500 110,250 79,115 7,491 0,044 0,007 0,007
24 6,825 - 0,664 7,489 - 0,046 11,500 132,250 86,121 7,527 - 0,038 - 0,006 0,006
сумма 170,791 0,594 - 1 150,000 41,034 170,791 - 0,000 0,013 0,588
3) Проверим качество полученной модели.
Рассчитаем среднюю процентную ошибку:
MPE=Ei/yi×100n=0,013×10024=0,056%.
Рассчитаем среднюю абсолютную процентную ошибку:
MAPE=|Eiyi|×100n=0,588×10024=2,451%.
Поскольку MPE<5% и MAPE<10%, то модель подогнана с высокой точностью.