Внутрь правильного n- угольника со стороной a вписано n равных кругов так

Соединив центры кругов, получим многоугольник, подобный данному.  Центр полученного многоугольника совпадает с центром данного, а сам будет повернут около центра O на угол α относительно данного (рис. 1).
Пусть R- общий радиус рассматриваемых кругов. Тогда сторона   построенного нами многоугольника   равна 2R, а его  площадь
S0=n∙Rh=n∙R∙Rctgπn=nR2ctgπn
Внутренний угол многоугольника
β=π(n-2)n.
Для получения искомой площади S мы должны из площади S0 внутреннего многоугольника отнимать общую площадь n секторов с углом β . Получим:
S=S0-nSc=nR2ctgπn-nR22β. (*)
Из треугольника KLP
KL=Rcosα;LP=Rsinα
Тогда PN=LN+LP=R+Rsinα=R(1+sinα).
Из подобных треугольников PNT и KLP
NTLP=PNKL
NTRsinα=R(1+sinα)Rcosα
NT=Rsinα(1+sinα)cosα
NT=Rtgα1+sinα.
Дальше
a2=MN+NT=Rcosα+Rtgα1+sinα.
Отсюда
R=a2cosα+tgα1+sinα=acosα2cos2α+sinα+sin2α=
=a2∙cosα1+sinα.
Подставим в (*) и упростим.
S=nR2ctgπn-β2=na24∙cos2αctgπn-β21+sinα2=
=na24∙cos2πnctgπn-πn-22n1+sinπn2=na24∙cos2πn1+sinπn2ctgπn+πn-π2=
=na24∙cos2π2n-sin2π2n2sin2π2n+cos2π2n+2sinπ2n∙sinπ2n2ctgπn+πn-π2=
=na24∙cos2π2n-sin2π2n2cosπ2n+sinπ2n4ctgπn+πn-π2=
=na24∙cosπ2n-sinπ2n2cosπ2n+sinπ2n2∙ctgπn+πn-π2=
=na24∙cosπ2n-sinπ2ncosπ2n+sinπ2n2∙ctgπn+πn-π2=
=na24∙1-tgπ2n1+tgπ2n2∙ctgπn+πn-π2=
=na24∙tgπ4-tgπ2n1+tgπ4∙tgπ2n2∙ctgπn+πn-π2==na24∙tg2π4-π2n∙ctgπn+πn-π2.
Ответ:
S=na24∙tg2π4-π2n∙ctgπn+πn-π2.