Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А1

А) косинус угла между ребрами А1А2, А1А4;
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 4-1; Y = 4-(-1); Z = -1-5
A1A2(3;5;-6)
A1A4(4;2;0)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(3;5;-6) и A1A4(4;2;0):
γ = arccos()
б) длину высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3;
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
Уравнение плоскости A1A2A3: -7x + 27y + 19z-61 = 0 (из пункта г)
в) уравнение ребра A1A4;
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой A1A4:
г) уравнение плоскости A1A2A3;
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-1)(5·(-5)-3·(-6)) - (y+1)(3·(-5)-(-2)·(-6)) + (z-5)(3·3-(-2)·5) =0
-7x + 27y + 19z-61 = 0
д) Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: -7x + 27y + 19z-61 = 0
уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1A2A3:
е) угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: -7x + 27y + 19z-61 = 0
Уравнение прямой A1A4:
= arcsin()