Вероятностно-статистический анализ материалов наблюдений (проверка согласия эмпирического распределения с нормальным)
Исходные данные: результаты измерений ( i = 1,2,.., n) некоторой случайной величины Х, рассматриваемые как случайная выборка объема n из генеральной совокупности; n = 100.
-0,09 0,15 0,41 0,80 -1,62 1,11 -0,76 -1,59 1,10 0,13
-0,75 1,37 -0,98 -0,40 -0,11 0,75 1,63 1,30 0,50 0,80
0,18 -1,63 -1,34 1,01 0,43 -0,48 0,09 -0,37 1,28 0,64
0,25 -1,33 1,16 1,88 -1,22 1,24 1,47 -0,06 0,25 0,38
0,51 0,45 0,79 -0,08 1,77 1,22 0,47 0,16 0,23 2,37
0,53 0,61 -1,14 -1,00 0,56 -0,12 -0,70 -0,44 -0,15 -0,06
-2,02 0,97 -1,33 0,43 0,26 -0,32 -1,46 -0,62 -1,21 0,51
-0,43 0,40 1,24 0,34 -0,12 0,03 1,18 -1,36 0,31 -0,12
0,98 0,16 1,23 -1,42 -0,54 -0,28 0,92 0,47 0,07 0,65
0,62 -0,29 0,60 -0,57 0,75 -0,54 -0,40 -0,53 0,87 -0,29
План
Преобразовать исходную выборку в статистический группированный ряд, построить график эмпирических частот (многоугольник распределения) и выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности. Выдвинуть гипотезы об асимметрии и эксцессе кривой распределения.
Вычислить теоретические (гипотетические) частоты для каждого интервала группированного ряда. Построить график теоретических частот и вычислить эмпирическое значение критерия согласия Пирсона (критерий 2).
Проверить все выдвинутые гипотезы, составить сводную таблицу проверки гипотез и дать заключение по результатам анализа.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
N=100- объем выборки;
xmax =2,37- максимальный элемент выборки;
xmin =-2,02- минимальный элемент выборки;
R=xmax -xmin =2,37--2,02=4,39- размах выборки;
Примем k=10- число интервалов (групп).
Вычислим C=Rk=0,44- длина интервала (группы).
Вычисление эмпирических характеристик:
№ интер-вала Границы интервала
(xi;xi+1)
Середина интервала
xi
ni
xini
xi-x2∙ni
xi-x3∙ni
xi-x4∙ni
1 (-2,02;-1,58) -1,8 4 -7,2 14,38457 -27,2782 51,72899
2 (-1,58;-1,14) -1,36 9 -12,24 19,0886 -27,7997 40,48606
3 (-1,14;-0,7) -0,92 5 -4,6 5,164837 -5,24928 5,335107
4 (-0,7;-0,26) -0,48 15 -7,2 4,98269 -2,87177 1,655147
5 (-0,26;0,18) -0,04 17 -0,68 0,316052 -0,04309 0,005876
6 (0,18;0,62) 0,4 22 8,8 2,028473 0,615946 0,187032
7 (0,62;1,06) 0,84 12 10,08 6,636184 4,934998 3,669911
8 (1,06;1,5) 1,28 12 15,36 16,81233 19,89991 23,55453
9 (1,5;1,94) 1,72 3 5,16 7,908718 12,84099 20,84927
10 (1,94;2,37) 2,155 1 2,155 4,23804 8,724641 17,96098
-
-
100 9,635 81,56049 -16,2255 165,4329
Построим график эмпирических частот (многоугольник распределения):
Нулевая гипотеза о распределении:
H0=Распределение нормальное.
Числовые характеристики и гипотезы:
Оценка математического ожидания (среднее арифметическое):
x=1ni=1kxini=1100∙9,635=0,09635;
Выборочная исправленная дисперсия:
S2=1n-1i=1kxi-x2ni=1100-1∙81,56049=0,82384;
Оценка среднего квадратического отклонения:
S=S2=0,82384=0,90766;
Оценка центрального момента 3-го порядка:
μ3=1ni=1kxi-x3∙ni=1100∙-16,2255=-0,162255;
Оценка центрального момента 4-го порядка:
μ4=1ni=1kxi-x3∙ni=1100∙165,4329=1,654329;
Асимметрия эмпирической кривой:
A=μ3S3=-0,1622550,907663=-0,21698;
H0=A=0- нулевая гипотеза об асимметрии.
Эксцесс эмпирической кривой:
E=μ4S4-3=1,6543290,907664-3=-0,5626;
H0=E=0- нулевая гипотеза об эксцессе.
Проверим гипотезу о нормальном распределении:
Теоретические вероятности pi СВ X, попавших в интервал ∆i=[xi;xi+1) находятся по формуле:
pi=Pxi≤X≤xi+1=Фxi+1-xσ-Фxi-xσ=Фzi+1-Фzi, =1,2,..,k.
Необходимые для этих вычислений значения функции Фx взяты из таблицы значений функции Лапласа.
Дальнейшие вычисления сведены ниже в таблицу.
zi=xi-xσ
zi+1=xi+1-xσ
Фzi
Фzi+1
pi=
=Фzi+1
-Фzi
ni*=n∙pi
ni
ni-ni*2ni*
-∞
-1,85 -0,5 -0,4678 0,0322 3,22 4 0,188944
-1,85 -1,36 -0,4678 -0,4131 0,0547 5,47 9 2,278044
-1,36 -0,88 -0,4131 -0,3106 0,1025 10,25 5 2,689024
-0,88 -0,39 -0,3106 -0,1517 0,1589 15,89 15 0,049849
-0,39 0,09 -0,1517 0,0359 0,1876 18,76 17 0,165117
0,09 0,58 0,0359 0,219 0,1831 18,31 22 0,743643
0,58 1,06 0,219 0,3554 0,1364 13,64 12 0,197185
1,06 1,55 0,3554 0,4394 0,084 8,4 12 1,542857
1,55 2,03 0,4394 0,4788 0,0394 3,94 3 0,224264
2,03 +∞
0,4788 0,5 0,0212 2,12 1 0,591698
Сумма: -
-
-
1 100 100 8,670625
Вычисленное статистическое значение критерия
χ2=i=110ni-ni*2ni*=8,670625;
По количеству интервалов группировки k=10, числу параметров нормального распределения m=2 найдем число степеней свободы
k-m-1=10-2-1=7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
