Вероятность того что стрелок попадет в мишень при одном выстреле

P=0,8 – вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле.
q=1-p=1-0,8=0,2 – вероятность того, что стрелок промахнется.
Предполагаем, что стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется.
Предполагаем, что количество патронов бесконечно.
Случайная величина Z – число патронов, выданных стрелку – имеет следующие возможные значения: z1=1, z2=2, z3=3, z4=4,…, zk=k. Найдем вероятности этих возможных значений.
Величина Z примет возможное значение z1=1, если стрелок промахнулся при первом выстреле
p1=Pz1=1=q=0,2
Величина Z примет возможное значение z2=2, если стрелок попал при первом выстреле, но промахнулся при втором выстреле, то есть
p2=Pz2=2=p∙q=0,8∙0,2=0,16
Аналогично найдем
p3=Pz3=3=p∙p∙q=0,8∙0,8∙0,2=0,128
p4=Pz4=4=p∙p∙p∙q=0,83∙0,2=0,1024
p5=Pz5=5=p∙p∙p∙p∙q=0,84∙0,2=0,08192
и так далее
pk=Pzk=k=0,8k-1∙0,2
и так далее.
Закон распределения случайной величины Z имеет вид
zi
1 2 3 4 5 … k
…
pi
0,2 0,16 0,128 0,1024 0,08192 … 0,8k-1∙0,2
…
Математическое ожидание
MZ=xipi=1∙0,2+2∙0,8∙0,2+3∙0,82∙0,2+4∙0,83∙0,2+5∙0,84∙0,2+…+k∙0,8k-1∙0,2+…=0,2n=0∞n+10,8n
Найдем сумму ряда Sx=n=0∞n+1xn
Sxdx=n=0∞n+1xndx=n=0∞xn+1=x+x2+…=x1-x
Sx=x1-x'=11-x2
Тогда математическое ожидание
MZ=0,2n=0∞n+10,8n=0,2∙11-0,82=5
Для нахождения дисперсии предварительно найдем
zi2pi=12∙0,2+22∙0,8∙0,2+32∙0,82∙0,2+42∙0,83∙0,2+52∙0,84∙0,2+…+k2∙0,8k-1∙0,2+…=0,2∙n=0∞n+120,8n
Найдем сумму ряда Sx=n=0∞n+12xn
Sxdx=n=0∞n+12xndx=n=0∞n+1xn+1=n=0∞(n+1) xn-n=0∞xn=11-x2-11-x
Sx=11-x2-11-x'=21-x1-x4-11-x2
Получаем
zi2pi=0,2∙n=0∞n+120,8n=0,2∙21-0,81-0,84-11-0,82=0,2∙250-25=45
Дисперсия
DZ=zi2pi-MZ2=45-52=20