Вариационный ряд - по данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды

Упорядочим выборку, т.е. запишем все значения случайной величины в возрастающем порядке
17
18
18
19
19
21
23
26
26
27
27
27
28
29
31
31
32
32
32
33
34
35
36
36
36
37
37
39
39
40
40
40
40
42
42
42
43
43
43
48
48
48
49
50
50
50
54
58
59
61
Объем выборки составляет 50
минимальное значение 17
максимальное значение 61
Разобьем диапазон изменения случайной величины на интервалы. Число интервалов определяется по следующей полуэмпирической формуле
с округлением до ближайшего целого.
Ширину каждого интервала берем одинаковой и равной
.
Величину выбираем с точностью выборки и округляем в сторону завышения.
Границы интервалов вычисляем по формуле
, .
Номер группы Нижняя граница Верхняя граница
1 17 23
2 23 29
3 29 35
4 35 41
5 41 47
6 47 53
7 53 61
По протоколу выборки подсчитываем частоту интервала - количество элементов , попавших в -тый интервал. Если элемент совпадает с границей интервала, то он относится к предыдущему интервалу.
Результаты оформим в виде таблицы интервального вариационного ряда:
Группы Частота ni
[17 – 23) 6
[23 – 29) 7
[29 – 35) 8
[35 – 41) 12
[41 – 47) 6
[47 – 53) 7
[53 – 61) 4
Для составления дискретного вариационного ряда, заменим интервалы соответсвующими серединами:
Середина интервала, xi
ni
20 6
26 7
32 8
38 12
44 6
50 7
57 4
Вычисляем относительные частоты интервалов
.
Группы Середина интервала, xi
ni
Относительная частота, ni/n
17 - 23 20 6 0,12
23 - 29 26 7 0,14
29 - 35 32 8 0,16
35 - 41 38 12 0,24
41 - 47 44 6 0,12
47 - 53 50 7 0,14
53 - 61 57 4 0,08
Построим гистограмму и полигон относительных частот
Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны ( относительная частота).
Построим точки с координатами и соединим их плавной линией. Эта линия будет полигоном относительных частот.
Оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам
,
где — частота варианты в выборке объема .
Асимметрия: As = M3/s3
где M3 - центральный момент третьего порядка.
s - среднеквадратическое отклонение.
Эксцесс:
Таблица для расчета показателей.
Группы Середина интервала, xi
ni
xi·ni
(x-xср)2·ni (x-xср)3·ni (x-xср)4·ni
17 - 23 20 6 120 1758.566 -30106.657 515425.964
23 - 29 26 7 182 865.581 -9625.258 107032.874
29 - 35 32 8 256 209.715 -1073.742 5497.558
35 - 41 38 12 456 9.293 8.178 7.196
41 - 47 44 6 264 284.006 1953.964 13443.273
47 - 53 50 7 350 1161.261 14957.039 192646.664
53 - 61 57 4 228 1580.858 31427.449 624777.688
Итого
50 1856 5869.28 7540.973 1458831.217
M3 = 7540.97/50 = 150.82
Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии
M4 = 1458831.22/50 = 29176.62
Доверительный интервал для оценки мат.ождания.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475
tkp(γ) = (0.475) = 1.96
Предельная ошибка выборки:
Доверительный интервал:
(37.12 - 3.034;37.12 + 3.034) = (34.086;40.154)
Доверительный интервал для дисперсии.
Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = 0.025 . Для количества степеней свободы k=n-1=49, по таблице распределения χ2 находим:
χ2(49;0.025) = 67.50481.
Случайная ошибка дисперсии нижней границы:
Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0.025 = 0.975:
χ2(49;0.975) = 32.35736.
Случайная ошибка дисперсии верхней границы:
Таким образом, интервал (86.95;181.39) покрывает параметр S2 с надежностью γ = 0.05
Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
Для проверки гипотезы о нормальном распределении рассматриваемой величины:
1.Вычисляем теоретические вероятности попадания варианты в каждом интервале по формуле
,
где , функция Лапласа
.
3. Вычисляем частоты интервалов
4.Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями выберем случайную величину (хи-квадрат)
.
Заполнив таблицу, вычислим значение критерия (хи-квадрат статистическое).
Теоретическая (ожидаемая) частота равна ni = npi, где n = 50
Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1)
xi÷xi+1 ni
x1 = (xi - xср)/s x2 = (xi+1 - xср)/s Ф(x1) Ф(x2) pi=Ф(x2)-Ф(x1) Ожидаемая частота, 50pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
17 - 23 6 -1.8384 -1.2902 -0.4671 -0.4032 0.0639 3.195 2.4626
23 - 29 7 -1.2902 -0.7419 -0.4032 -0.2734 0.1298 6.49 0.04008
29 - 35 8 -0.7419 -0.1937 -0.2734 -0.0793 0.1941 9.705 0.2995
35 - 41 12 -0.1937 0.3545 -0.0793 0.1406 0.2199 10.995 0.09186
41 - 47 6 0.3545 0.9027 0.1406 0.3186 0.178 8.9 0.9449
47 - 53 7 0.9027 1.451 0.3186 0.4279 0.1093 5.465 0.4311
53 - 61 4 1.451 2.1819 0.4279 0.4861 0.0582 2.91 0.4083
50
4.6785
Определим границу критической области