В задаче выборочная совокупность задана из соответствующей генеральной совокупности. Требуется:
Составить интервальное распределения выборки с шагом h, взяв за начало первого интервала .
Построить гистограмму частот.
Найти
Найти с надежностью доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности, если признак X распределен по нормальному закону и его среднее квадратическое отклонение равно .
Были испытаны 25 ламп на продолжительность горения и получены следующие результаты (в часах):
773 792 815 827 843 854 861 869 877 886 889 892 885 901 903 905 911 918 919 923 929 937 941 955 981
Решение
По данным выборки получим, что n=25 – объем выборочной совокупности, xmin=773 часов, xmax=981 часов – минимальное и максимальное выборочные значения выборки. Размах варьирования есть разность между максимальным и минимальным значениями выборки, то есть
R= xmax – xmin=981–773=208 часов.
Для определения количества интервалов группировки воспользуемся формулой Стерджеса:
.
Количество интервалов группировки равно 6, а ширина интервала равна
.
Примем для удобства расчетов . За начало первого интервала примем х0=760.
Подсчитаем, сколько значений случайной величины попадает в каждый интервал, и результаты (частоты ni) занесем в таблицу 1. В качестве значений случайной величины (хi) возьмем середины соответствующих интервалов группировки
. Подсчитаем и запишем в таблицу также следующие величины:
– относительные частоты (частости) по формуле ;
– плотность относительных частот по формуле ;
– накопленные частоты по формуле: ;
– накопленные относительные частоты nx/n.
Таблица 1 – Интервальный вариационный ряд
Номер интер-вала, i Границы интерва-лов, [ai-1,ai] Сере-дина, хi Часто-та,
ni Относительная частота, wi=ni/n Плотность относитель-ных частот, wi/h Накопленная частота, nx Накоплен-ная относительная частота, nx/n
1 2 3 4 5 6 7 8
1 760 800 780 2 0,08 0,002 2 0,08
2 800 840 820 2 0,08 0,002 4 0,16
3 840 880 860 5 0,2 0,005 9 0,36
4 880 920 900 10 0,4 0,01 19 0,76
5 920 960 940 5 0,2 0,005 24 0,96
6 960 1000 980 1 0,04 0,001 25 1
Сумма 25 1 0,025 - -
2) Построим гистограмму относительных частот, для чего на оси абсцисс построим ряд сомкнутых прямоугольников, у каждого из которых основанием служит величина интервала признака, а высотой – соответствующая интервалу плотность относительной частоты (рис.5).
Рис.5 – Гистограмма относительных частот
3) Для вычисления характеристик выборки составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
i хi ni xini x2ini
1 780 2 1560 1216800
2 820 2 1640 1344800
3 860 5 4300 3698000
4 900 10 9000 8100000
5 940 5 4700 4418000
6 980 1 980 960400
Сумма
25 22180 19738000
Средние
- 887,2 789520
По данным таблицы 2 определяем числовые характеристики выборки.
Выборочная средняя:
.
Выборочная дисперсия:
.
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
.
Исправленная дисперсия:
.
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
.
4) Доверительный интервал для математического ожидания а=М(Х) при известной дисперсии имеет вид
,
где σГ – среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, а tγ определяется по таблице значений аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)= γ/2.
По условию,
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
