В треугольнике ABC с вершиной A(m,n) известны уравнения высоты BB1

A(4,1)
BB1: 2xy+7=0
CC1: 2x+5y12=0.
АС ⊥ BB1, то найдем прямую которая проходит через точку А и перпендикулярна BB1
АС: x-4-2=y-11
x-4=-2y+2
x+2y-6=0
Найдем вершину С как точку пересечения прямых АС и CC1
x+2y-6=02x+5y-12=0⇒x=-2y+626-2y+5y-12=0⇒
x=-2y+612-4y+5y-12=0⇒x=-2y+6y=0⇒x=6y=0
Точка В является точкой симметричной от вершины А относительно СС1, точка, симметричная известной точке относительно прямой будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точки на прямую, т.е . будет лежать на прямой перпендикулярной известной прямой, проходящей через заданную точку.
Воспользуемся свойством перпендикулярных прямых - угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны следующим соотношением
k1=-1k2
Угловой коэффициент прямой CC1 равен -25 ⇒k2=52
Для перпендикулярной прямой известны: координата точки A(4;1) и угловой коэффициент k2=25.
Найдем уравнение прямой, для этого применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
y-1=52(x-4)
2y-2=5x-20
5x-2y-18=0
Известная точки A и искомая точка P, лежат на этой прямой, симметрично точке пересечения двух прямых O (эта точка делит отрезок AP пополам)