Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞n2+33n(x-3)n n=0∞xn(n+5)n!. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞n2+33n(x-3)n n=0∞xn(n+5)n!

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞n2+33n(x-3)n n=0∞xn(n+5)n! .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞n2+33n(x-3)n n=0∞xn(n+5)n!

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем сначала радиус сходимости R степенного ряда по формуле:
R=limn→∞anan+1
an=n2+33n, an+1=n+12+33n+1=n2+2n+43∙3n
anan+1=n2+33n∙3∙3nn2+2n+4=3∙n2+3n2+2n+4
R=limn→∞anan+1=3limn→∞n2+3n2+2n+4=3limn→∞n21+3n2n21+2n+4n2=3limn→∞1+3n21+2n+4n2=3
Значит интервалом абсолютной сходимости ряда будет интервал:
x-3<3
0 Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
При x=0 получим числовой ряд:
n=1∞n2+33n∙(-3)n=n=1∞(-1)n∙(n2+3)
Проверим, сходится ли данный знакочередующийся ряд.
limn→∞an=limn→∞n2+3=∞≠0
По признаку Лейбница ряд расходится.
При x=6 получим числовой ряд:
n=1∞n2+33n∙3n=n=1∞(n2+3)
Для данного ряда
limn→∞an=limn→∞n2+3=∞≠0
Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.
Следовательно, 0;6 – область сходимости степенного ряда.
Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле:
R=limn→∞anan+1
an=n+5n!, an+1=n+6n+1!=n+6n!n+1
R=limn→∞n+5n!∙n!n+1n+6=limn→∞n+5n+1n+6=limn→∞n2+6n+5n+6=
=limn→∞n21+6n+5n2n21n+6n2=limn→∞1+6n+5n21n+6n2=10=∞
Так как R=∞, то степенной ряд сходится всюду, т.е

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу