В таблице приведены данные об уровне производительности труда (выпуск продукции в среднем за 1 час

1. Построим графики временных рядов Xt и Yt:
Судя по графику, в ряду X присутствуют восходящий временной тренд (возможно, линейный) и случайная составляющая.
Судя по графику, в ряду Y присутствует слабый восходящий тренд (вероятно, нелинейный) и случайная составляющая.
2. Построим автокорреляционную функцию каждого временного ряда, используя функцию MS Excel «КОРРЕЛ».
Ряд Х:
Временной лаг 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Коэффициент автокорреляции 1,00 0,99 0,98 0,98 0,97 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96
В ряду присутствует выраженный тренд. Сезонность отсутствует.
Ряд Y:
Временной лаг 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Коэффициент автокорреляции 0,94 0,81 0,67 0,54 0,39 0,18 -0,09 -0,38 -0,60 -0,75
В ряду присутствует нелинейный тренд (возможно, степенной). Сезонность отсутствует.
3. Проверим каждый ряд на наличие тренда. Используем метод Фостера-Стюарта. Сравним каждый из уровней ряда со всеми предшествующими и определим вспомогательные характеристики:
mt=1,если yt>yt-1,…y10,в противном случае
lt=1,если yt<yt-1,…y10,в противном случае
dt=mt-lt
Рассчитаем значения характеристик:
D=2ndt
σD=22n1t
tнабл=DσD
Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента сравнивается с критическим при уровне значимости α=0,05 и n-1=29 степенях свободы. Критическое значение равно 2,05.
Для ряда Х:
t Xt mt lt dt 1/t
1 65,6 - - - -
2 68,1 1 0 1 0,50
3 70,4 1 0 1 0,33
4 73,3 1 0 1 0,25
5 76,5 1 0 1 0,20
6 78,6 1 0 1 0,17
7 81 1 0 1 0,14
8 83 1 0 1 0,13
9 85,4 1 0 1 0,11
10 85,9 1 0 1 0,10
11 87 1 0 1 0,09
12 90,2 1 0 1 0,08
13 92,6 1 0 1 0,08
14 95 1 0 1 0,07
15 93,3 0 0 0 0,07
16 95,5 1 0 1 0,06
17 98,3 1 0 1 0,06
18 99,8 1 0 1 0,06
19 100,4 1 0 1 0,05
20 99,3 0 0 0 0,05
21 98,6 0 0 0 0,05
22 99,9 0 0 0 0,05
23 100 0 0 0 0,04
24 102,2 1 0 1 0,04
25 104,6 1 0 1 0,04
26 106,1 1 0 1 0,04
27 108,3 1 0 1 0,04
28 109,4 1 0 1 0,04
29 110,4 1 0 1 0,03
30 109,5 0 0 0 0,03
Сумма       23 2,99
    D 23    
    σD 2,45    
    tнабл 9,40    
    tкрит 2,05    
Наблюдаемое значение t-критерия по модулю больше критического, следовательно, гипотеза об отсутствии тренда отвергается на уровне значимости 0,05. В ряду присутствует тренд. Т.к. наблюдаемое значение критерия положительно, тренд является восходящим.
Для ряда Y:
t Yt mt lt dt 1/t
1 6,79 - - - -
2 6,88 1 0 1 0,50
3 7,07 1 0 1 0,33
4 7,17 1 0 1 0,25
5 7,33 1 0 1 0,20
6 7,52 1 0 1 0,17
7 7,62 1 0 1 0,14
8 7,72 1 0 1 0,13
9 7,89 1 0 1 0,11
10 7,98 1 0 1 0,10
11 8,03 1 0 1 0,09
12 8,21 1 0 1 0,08
13 8,53 1 0 1 0,08
14 8,55 1 0 1 0,07
15 8,28 0 0 0 0,07
16 8,12 0 0 0 0,06
17 8,24 0 0 0 0,06
18 8,36 0 0 0 0,06
19 8,4 0 0 0 0,05
20 8,17 0 0 0 0,05
21 7,78 0 0 0 0,05
22 7,69 0 0 0 0,05
23 7,68 0 0 0 0,04
24 7,79 0 0 0 0,04
25 7,8 0 0 0 0,04
26 7,77 0 0 0 0,04
27 7,81 0 0 0 0,04
28 7,73 0 0 0 0,04
29 7,69 0 0 0 0,03
30 7,64 0 0 0 0,03
Сумма       13 2,99
    D 13    
    σD 2,45    
    tнабл 5,31    
    tкрит 2,05    
Наблюдаемое значение t-критерия по модулю больше критического, следовательно, гипотеза об отсутствии тренда отвергается на уровне значимости 0,05. В ряду присутствует тренд. Т.к. наблюдаемое значение критерия положительно, тренд является восходящим.
Для каждого ряда проведем сглаживание при помощи простой скользящей средней. Формула имеет вид:
xi+1=xi+xi+1+xi+23
t Xt Xtсглаженное Yt Ytсглаженное
1 65,6   6,79  
2 68,1 68,03 6,88 6,91
3 70,4 70,60 7,07 7,04
4 73,3 73,40 7,17 7,19
5 76,5 76,13 7,33 7,34
6 78,6 78,70 7,52 7,49
7 81 80,87 7,62 7,62
8 83 83,13 7,72 7,74
9 85,4 84,77 7,89 7,86
10 85,9 86,10 7,98 7,97
11 87 87,70 8,03 8,07
12 90,2 89,93 8,21 8,26
13 92,6 92,60 8,53 8,43
14 95 93,63 8,55 8,45
15 93,3 94,60 8,28 8,32
16 95,5 95,70 8,12 8,21
17 98,3 97,87 8,24 8,24
18 99,8 99,50 8,36 8,33
19 100,4 99,83 8,4 8,31
20 99,3 99,43 8,17 8,12
21 98,6 99,27 7,78 7,88
22 99,9 99,50 7,69 7,72
23 100 100,70 7,68 7,72
24 102,2 102,27 7,79 7,76
25 104,6 104,30 7,8 7,79
26 106,1 106,33 7,77 7,79
27 108,3 107,93 7,81 7,77
28 109,4 109,37 7,73 7,74
29 110,4 109,77 7,69 7,69
30 109,5   7,64  
Представим результаты сглаживания на графиках:
4 . Для каждого ряда построим линейный и нелинейные (степенной, показательный, логарифмический, гиперболический) тренды.
Исследуем ряд Х.
Линейная модель:
x=at+b+ε
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,98
R-квадрат 0,95
Нормированный R-квадрат 0,95
Стандартная ошибка 2,85
Наблюдения 30,00
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 4677,42 4677,42 574,18 0,00
Остаток 28,00 228,10 8,15
Итого 29,00 4905,52      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95%
Y-пересечение 69,91 1,07 65,41 0,00 67,72
t 1,44 0,06 23,96 0,00 1,32
Модель имеет вид:
x=1,44t+69,91
Коэффициент детерминации равен 0,95.
Величина «Значимость F», соответствующая значимости уравнения регрессии по критерию Фишера, равна 0,00, не превышает уровень значимости 0,05. Это свидетельствует о том, что модель в целом значима на уровне значимости 0,05.
Величина «Р-значение», соответствующая значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента, не превышает уровень значимости 0,05 для фактора и свободного члена. Это свидетельствует о том, что коэффициенты модели значимы на уровне значимости 0,05.
Гиперболическая модель:
x=a1t+b+ε
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,74
R-квадрат 0,55
Нормированный R-квадрат 0,54
Стандартная ошибка 8,84
Наблюдения 30,00
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 2717,87 2717,87 34,79 0,00
Остаток 28,00 2187,65 78,13
Итого 29,00 4905,52      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95%
Y-пересечение 98,95 1,97 50,19 0,00 94,91
1/t -50,16 8,50 -5,90 0,00 -67,58
Модель имеет вид:
x=-50,161t+98,95
Коэффициент детерминации равен 0,55. Модель в целом значима, отдельные параметры значимы на уровне 0,05.
Степенная модель:
x=b⋅xta⋅ε
Модель сводится к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения и преобразования исходных данных о значениях факторного и результативного признаков:
lnx=lnb+alnt+lnε
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,98
R-квадрат 0,96
Нормированный R-квадрат 0,96
Стандартная ошибка 0,03
Наблюдения 30,00
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 0,62 0,62 736,01 0,00
Остаток 28,00 0,02 0,00
Итого 29,00 0,64      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95%
Y-пересечение 4,09 0,02 246,46 0,00 4,05
lnt 0,17 0,01 27,13 0,00 0,16
Модель имеет вид:
lnx=4,09+0,17lnt
Для получения степенной формы потенциируем свободный член:
x=59,62⋅t0,17
Коэффициент детерминации равен 0,96. Модель в целом значима, отдельные параметры значимы на уровне 0,05.
Показательная модель:
x=a⋅bt⋅ε
Модель также сводится к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения и преобразования исходных данных о значениях результативного признака:
lnx=lna+tlnb+lnε
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,96
R-квадрат 0,93
Нормированный R-квадрат 0,92
Стандартная ошибка 0,04
Наблюдения 30,00
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 0,59 0,59 346,79 0,00
Остаток 28,00 0,05 0,00
Итого 29,00 0,64      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95%
Y-пересечение 4,26 0,02 275,57 0,00 4,23
t 0,02 0,00 18,62 0,00 0,01
Модель имеет вид:
lnx=4,26+0,02t
Для получения показательной формы потенциируем свободный член и коэффициент регрессии:
x=71,02⋅1,02t
Коэффициент детерминации равен 0,93 Модель в целом значима, отдельные параметры значимы на уровне 0,05.
Логарифмическая модель:
x=b+alnt+lnε
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,97
R-квадрат 0,94
Нормированный R-квадрат 0,94
Стандартная ошибка 3,30
Наблюдения 30,00
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 4601,30 4601,30 423,49 0,00
Остаток 28,00 304,22 10,87
Итого 29,00 4905,52      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95%
Y-пересечение 55,41 1,89 29,33 0,00 51,54
lnt 14,81 0,72 20,58 0,00 13,34
Модель имеет вид:
x=55,41+14,81lnt
Коэффициент детерминации равен 0,94