В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины Х:
4,0 – 4,2 4,2 – 4,4 4,4 – 4,6 4,6 – 4,8 4,8 – 5,0
6 20 46 23 11
Требуется:
а) Вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее
; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
б) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия .
в) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распре- деления (доверительную вероятность принять равной = 0,95).
Решение
А) Имеем выборку объемом .
Вычислим середины интервалов :
Выборочное среднее вычислим по формуле
число интервалов.
Для вычисления остальных числовых характеристик выборки предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков:
Результаты представим в табл.1.
Таблица 1
Частичные интервалы Середины интервалов,
Частоты,
4,0 – 4,2 4,1 6 1,08375 -0,46059 0,19575
4,2 – 4,4 4,3 20 1,01250 -0,22781 0,05126
4,4 – 4,6 4,5 46 0,02875 -0,00072 0,00002
4,6 – 4,8 4,7 23 0,704375 0,12327 0,02157
4,8 – 5,0 4,9 11 1,546875 0,58008 0,21753
∑ 106 4,37625 0,01422 0,48612
0,04129 0,00013 0,00459
Имеем
выборочная дисперсия
выборочное среднее квадратическое отклонение
выборочный коэффициент асимметрии
выборочный коэффициент эксцесса
выборочный коэффициент вариации
б) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, проведем проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия
. Для этого пронормируем частичные интервалы, выразив их в единицах среднего квадратического отклонения s:
причем наименьшее значение ui положим равным – , наибольшее — +
(см. столбец 3 табл. 2).Заметим, что определённая СВ U является случай ной величиной, распределённой по нормальному закону с параметрами a = 0;
σ = 1.
Частичные
интервалы Частоты, ni Нормированные интервалы, (ui, ui+1) Теоретические вероятности, pi Теоретические частоты, npi
1 2 3 4 5 6 7
[4,0; 4,2) 6 (-; -1,60) 0,0548 5,81 0,04 0,01
[4,2; 4,4) 20 (-1,60; -0,62) 0,2128 22,56 6,54 0,29
[4,4; 4,6) 46 (-0,62; 0,37) 0,3767 39,93 36,84 0,92
[4,6; 4,8) 23 (0,37; 1,35) 0,2672 28,32 28,34 1,00
[4,8; 4,9) 11 (1,35; +) 0,0885 9,38 2,62 0,28
Суммы 106
1,000 106
2,50
Далее вычисляем теоретические вероятности - вероятности попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону в с параметрами а = 4,525 и
σ = 0,2032, в частичные интервалы по формуле
где
(значения функции Лапласа приведены в специальной таблице П3 в приложении).
Например, вероятность того, что СВ X попадает в первый частичный
нормированный интервал (- < Х < 4,2), равна
Аналогично
и т.д
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
