В таблице 1 заданы три измеренных экономических величины: первая из них представляет зависимую переменную регрессии y,

Определить средние значения и средние квадратические отклонения всех исследуемых экономических показателей, найти линейные коэффициенты парной корреляции для всех исследуемых показателей.
Для определения средних значений исследуемых показателей используем встроенную функцию Microsoft Excel «СРЗНАЧ», выделив необходимый диапазон ячеек, получаем следующие результаты:
y=110,367; x1 = 2,231; x2=3,875.
Для определения среднеквадратических отклонений исследуемых показателей используем встроенную функцию Microsoft Excel «СТАНДОТКЛОН.Г», выделив необходимый диапазон ячеек, получаем следующие результаты:
σy=7,667;σx1= 0,227;σx2=0,479.
Определим линейные коэффициенты парной корреляции, используя встроенную функцию Microsoft Excel «КОРРЕЛ», где в качестве аргументов выделяем диапазон ячеек двух исследуемых показателей. Получаем следующие результаты:
ryx1=0,488; ryx2=0,189; rx1x2=0,282.
Исходя из полученных данных можно сделать вывод о том, что результат (y) наиболее тесно связан с фактором (x1), так как между ними прослеживается умеренная прямая связь, в частности коэффициент парной корреляции равен 0,488. Коэффициент корреляции результата (y) и фактора (x2) отражает, что связь слабая. Так же стоит отметить отсутствие мультиколлинеарности, так как коэффициент межфакторной корреляции равен 0,282, что свидетельствует о том, что связь слабая.
Построить линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме, рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с β1 и β2.
Оценку параметров линейной множественной регрессии осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 1).
Рисунок 1 – Ввод параметров регрессии
Результаты построения множественной линейной регрессии представлены на рисунке 2
Рисунок 2 – Вывод итогов регрессии
Таким образом, уравнение множественной линейной регрессии в естественной форме имеет вид:
y =71,262+15,962 ×x1+0,900 ×x2.
Полученное уравнение множественной линейной регрессии показывает, что при увеличении только фактора x1 на 1 ед. изм. (при неизменном уровне фактора x2) результат у увеличивается в среднем на 15,962 ед. изм. При увеличении только фактора x2 на 1 ед. изм. (при неизменном уровне фактора x1) результат у увеличивается в среднем на 0,900 ед. изм.
Для построения уравнения множественной линейной регрессии в стандартизированном виде определим ß-коэффициенты по формуле 1:
βi=bi×σxiσy, (1)
где σxi - среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака;
σy - среднеквадратическое отклонение результативного признака
Получаем:
β1=15,962×0,2277,667=0,473;β2=0,900×0,4797,667=0,056.
Таким образом, получено следующее уравнение множественной линейной регрессии в стандартизированном виде:
ty=0,473×tx1+0,056×tx2.
β-коэффициент показывает, на какую величину изменится среднеквадратическое отклонение результативного признака, если среднеквадратическое отклонение конкретного факторного признака изменится на 1 единицу. Следовательно, при изменении фактора x1 результат у изменится в ту же сторону на 0,473  при неизменном значении x2. При изменении фактора x2 результат у изменится в ту же сторону на 0,056  при неизменном значении x1. Влияние фактора x1 на результат сильнее.
Определим коэффициенты эластичности по формуле 2:
Эi=bi×xiy, (2)
где xi - среднее значение соответствующего факторного признака,
y - среднее значение результативного признака;
bi – коэффициенты регрессии соответствующих факторных признаков.
В нашем случае получаем следующие результаты:
Э1=15,962×2,231110,367=0,323; Э2=0,900×3,875110,367=0,032.
Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится среднее значение результативного признака, если среднее значение конкретного факторного признака изменится на 1 %, т.е., при увеличении на 1% фактора (x1) результат (y) в среднем увеличится на 0,323%. При увеличении на 1% фактора (x2) результат (y) в среднем увеличится на 0,032% . На основании анализа коэффициентов эластичности можно сделать вывод о том, что наиболее значимый фактор – (x1).
Таким образом, анализ бета коэффициентов и частных коэффициентов эластичности дал одинаковые результаты, а именно влияние фактора x1 на результат сильнее чем фактора x2.
Построить одно нелинейное уравнение множественной регрессии на выбор из следующих уравнений: степенное, показательное, гиперболическое.
Построим степенное уравнение множественной регрессии, которое имеет вид: y=a×x1b1×x2b2.
Поскольку степенная модель нелинейна по параметрам введем следующее линеаризующее преобразование: y=Ln (y), x1=Ln(x1), x2=Ln(x2). Осуществим преобразование исходных данных, используя встроенную функцию Microsoft Excel «LN», которое представим в виде таблицы 2.
Таблица 2
Линеаризованные исходные данные
№ Ln(y) Ln(x1) Ln(x2)
1 4,72 0,82 1,24
2 4,76 0,66 1,25
3 4,71 0,84 1,12
4 4,69 0,91 1,30
5 4,76 0,94 1,33
6 4,63 0,70 1,35
7 4,63 0,63 1,24
8 4,70 0,87 1,41
9 4,65 0,78 1,50
10 4,70 0,77 1,46
11 4,62 0,59 1,27
12 4,63 0,86 1,27
13 4,86 0,92 1,53
14 4,81 0,82 1,38
15 4,66 0,85 1,56
Оценку параметров степенной множественной регрессии осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 3).
Рисунок 3 – Ввод параметров степенной регрессии
Результаты построения множественной степенной регрессии представлены на рисунке 4.
Рисунок 4 – Вывод итогов регрессии
Осуществим потенцирование, используя встроенную функцию «EXP»:
a=eLna=e4,424=83,451.
Таким образом, уравнение степенной множественной регрессии имеет вид:
y=83,451×x10,311×x20,022
Для степенной функции коэффициенты регрессии представляют собой частные коэффициенты эластичности, поэтому уравнение показывает, что при увеличении на 1% фактора (x1) результат (y) в среднем увеличится на 0,311%. При увеличении на 1% фактора (x2) результат (y) в среднем увеличится на 0,022%. На основании чего можно сделать вывод о том, что фактор x1 сильнее связан с результатом.
Рассчитать коэффициент детерминации для обеих построенных уравнений (линейного и нелинейного), скорректировать значение коэффициента детерминации. Сравнить качество описания зависимости между исследуемыми показателями для линейного и для нелинейного уравнения множественной регрессии.
Коэффициент детерминации и его скорректированное значение для линейной регрессии определены при помощи пакета анализа «Регрессия» (рисунок 2).
Коэффициент детерминации R2=0,241 недостаточно близок к 1, следовательно, качество модели нельзя признать высоким. Значение коэффициента говорит о том, что в 24,1% случаев изменения факторов включенных в модель приводят к изменению результата (y). Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - плохая. Остальные 75,9% изменения (y) объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Значение скорректированного коэффициента детерминации R2=0,115 подтверждает сделанный вывод о плохом качестве уравнения.
Определим индекс детерминации, используя формулу 3.
R2=1-y-y2y-y2. (3)
Для определения индекса корреляции для степенного уравнения множественной регрессии необходимо определить теоретические значения результата у, последовательно подставляя в построенное уравнение фактические значения факторов. Расчеты оформим в виде вспомогательной таблицы 3.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для определения индекса детерминации
№ y
y-y2
y-y2
1 110,62 4,55 3,52
2 105,37 36,40 121,70
3 111,09 1,52 0,26
4 114,00 2,15 26,01
5 115,21 37,62 1,65
6 106,77 58,78 16,57
7 104,14 58,78 2,09
8 112,82 0,03 6,87
9 109,87 32,11 26,75
10 109,61 0,93 0,05
11 103,00 85,87 3,60
12 112,04 60,32 89,12
13 114,72 328,82 190,02
14 110,97 147,22 132,85
15 112,32 26,69 50,66
Сумма 1 652,56 881,79 671,72
Таким образом, индекс детерминации для степенной регрессии составит:
R2=1-671,72881,79=0,238.
Индекс детерминации степенного уравнения также демонстрирует плохое качество подбора уравнения, так как всего 23,8% вариации у объясняется вариацией включенных в модель факторов.
Скорректированный индекс детерминации для степенного уравнения определим на основании формулы 4.
R2=1-(1-R2)×n-1n-m-1, (4)
где n – количество наблюдений;
m – количество объясняющих переменных.
Скорректированный индекс детерминации составит:
R2=1-(1-0,238)×15-115-2-1=0,111.
Скорректированный индекс детерминации степенной модели существенно снизился и демонстрирует плохое качество подбора уравнения.
Несмотря на то, что оба уравнения плохого качества, линейное немного лучше описывает исходные данные.
Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, рассчитанными в п