В результате статистического исследования получены следующие данные

Для применения критерия Пирсона (χ2) полученные данные группируются по интервалам частот и сравниваются с ожидаемым числом наблюдений для принятого распределения. На основе этого сравнения вычисляется критерий, который приближенно следует распределению χ2 только в том случае, если модель выбрана правильно, если модель выбрана неправильно, то значения критерия превысит значения случайной величины, распределенной по закону χ2 [1].
По условию xi – середины интервалов, wi – относительные частоты. Построим полигон относительных частот (рис. 1).
Рис. 1. Полигон относительных частот
Судя по данным приблизительно подходящие распределения (выдвигаем гипотезу H0): нормальное распределение, логарифмически нормальное распределение и распределение Рэлея.
1. Рассмотрим первое предположение: Нормальное распределение.
Проверим верность выдвинутой гипотезы по критерию χ2. Для этого выполним предварительные вычисления:
Математическое ожидание:
Mx=a=i=1kxiwi=4,141
Дисперсия:
Dx=i=1kxi2wi-M2(x)=2,3584
Среднее квадратическое отклонение:
σ=D(x)=1,5357
Плотность вероятности определим по следующей формуле:
fxi=12πσe-x-a22σ2
Вычислим теоретическую плотность, пользуясь свойством нормального распределения, результат приведем в таблице (табл. 1)
Таблица 1 – Расчет параметров первого предположения
k xi
wi
f(xi)
hf(xi)=pi
wi-pi2
wi-pi2/pi
1 1,6 0,07 0,066086 0,0462605 0,00056356 0,012182
2 2,3 0,09 0,12663 0,0886412 1,8464E-06 2,08E-05
3 3 0,19 0,19712 0,1379842 0,00270565 0,019608
4 3,7 0,17 0,249283 0,1744983 2,0234E-05 0,000116
5 4,4 0,15 0,256108 0,1792756 0,00085706 0,004781
6 5,1 0,12 0,213758 0,1496303 0,00087796 0,005868
7 5,8 0,09 0,14494 0,101458 0,00013129 0,001294
8 6,5 0,07 0,07984 0,0558883 0,00019914 0,003563
9 7,2 0,03 0,035729 0,0250106 2,4894E-05 0,000995
10 7,9 0,02 0,01299 0,0090928 0,00011897 0,013084
Сумма   1   0,9677397   0,061512
Получаем
χ2=n⋅i=1kwi-pi2pi=50⋅0,061512=3,076
Сравним графики полигона относительных частот и плотности нормального распределения (рис . 2):
Рис. 2. График плотности нормального распределения и полигон частот
Из таблицы приложения 8 [1], при уровне значимости α=0,1 и степени свободы r=10-3=7, имеем χ2=2,8330. Таким образом χ2=3,076>χα.r2=2,833 гипотеза H0 о нормальном распределении отвергается.
2. Рассмотрим второе предположение: логарифмически нормальное распределение.
Из предыдущего пункта: Mx=4,141
Мода: M0=3
Тогда согласно свойствам имеем систему:
ln4,141=a+12b2ln3=a-b2
⇒ b2=23ln4,141-ln3=0,2149
b=b2=0,46355
a=ln4,141-12b2=ln4,141-12⋅0,2149=0,3135
Плотность вероятности определим по следующей формуле:
fxi=1xb2πe-lnx-a22b2
Вычислим теоретическую плотность, пользуясь свойством логнормального распределения, результат приведем в таблице (табл. 2):
Таблица 2 – Расчет параметров второго предположения
k xi
wi
f(xi)
hf(xi)=pi
wi-pi2
wi-pi2/pi
1 1,6 0,07 0,102734 0,0719138 3,6626E-06 5,09E-05
2 2,3 0,09 0,218617 0,153032 0,00397303 0,025962
3 3 0,19 0,257648 0,1803533 9,3058E-05 0,000516
4 3,7 0,17 0,232584 0,1628089 5,1712E-05 0,000318
5 4,4 0,15 0,183146 0,1282023 0,00047514 0,003706
6 5,1 0,12 0,133811 0,093668 0,00069337 0,007402
7 5,8 0,09 0,093722 0,0656056 0,00059509 0,009071
8 6,5 0,07 0,064107 0,0448749 0,00063127 0,014067
9 7,2 0,03 0,043302 0,0303112 9,6873E-08 3,2E-06
10 7,9 0,02 0,029083 0,0203581 1,2826E-07 6,3E-06
Сумма
  1   0,9511281   0,061103
Получаем χ2=50⋅0,061103=3,055