В отделение банка каждые 3 минуты подходит клиент. Среднее время обслуживания клиента работником банка составляет 5 минут. Полагая, что максимальная длина очереди равна 5, рассчитать как функции времени: вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди, вероятность того, что клиент будет обслужен и среднее время затраченное им( включая ожидание в очереди). Целесообразно ли задействовать второго работника, если средняя прибыль от работы с одним клиентом составляет 10 у.е в день, а заработная плата работника банка 50 у.е в день? Продолжительность рабочего дня равна 8 часам.
Решение
Задана одноканальная СМО с ограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживания: Интенсивность нагрузки: ρ = λ*tобс = 1/3*5 = 1,67Интенсивность нагрузки ρ=1,67 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. Поскольку ρ ≥ 1, то очередь будет расти бесконечно, следовательно, предельных вероятностей не существуют. СМО не будет работать в стационарном режиме. Поэтому необходимо ввести еще один канал или уменьшить время обслуживания.
Если задействовать второго работника, то будем иметь двуканальную СМО с ограниченной очередью.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО: Интенсивность потока обслуживания:
Интенсивность нагрузки. ρ = λ*tобс = 0.333*5 = 1.665 Интенсивность нагрузки ρ=1.665 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов). Следовательно, 22.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 13.3 мин. Вероятность того, что обслуживанием: занят 1 канал: p1 = ρ1/1! p0 = 1.6651/1!*0.221 = 0.369 заняты 2 канала: p2 = ρ2/2! p0 = 1.6652/2!*0.221 = 0.307 Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ). Значит, 12% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен). В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1 Относительная пропускная способность: Q = pобс. pобс = 1 - pотк = 1 - 0.123 = 0.877 Следовательно, 88% из числа поступивших заявок будут обслужены
. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов). nз = ρ*pобс = 1.665*0.877 = 1.461 канала. Среднее число простаивающих каналов. nпр = n - nз = 2 - 1.461 = 0.5 канала. Коэффициент занятости каналов обслуживанием. Следовательно, система на 70% занята обслуживанием. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок). A = pобс*λ = 0.877*0.333 = 0.292 заявок/мин. Среднее время простоя СМО ( мин.). tпр = pотк*tобс = 0.123*5 = 0.614 Среднее время простоя канала ( мин.). tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 5*(1-0.123)/0.123 = 1.429 Вероятность образования очереди.
Роч=0,999Вероятность отсутствия очереди. p = 1 - pоч = 1 – 0,999=0,001
Среднее число заявок, находящихся в очереди. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди). Среднее число обслуживаемых заявок. Lобс = ρ*Q = 1.665*0.877 = 1.461 ед. Среднее число заявок в системе (т.е
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
