В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена десятипроцентная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено распределение деталей по затратам времени:
Затраты времени на одну деталь, мин. Число изделий, шт.
До 10 11
10 – 12 23
12 – 14 54
14 – 16 17
16 и более 8
На основе этих данных вычислите:
1) средние затраты времени на изготовление одной детали;
2) средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение;
3) коэффициент вариации;
4) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней, возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
5) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 12 минут.
Решение
1) Средние затраты времени на изготовление одной детали определим по формуле средней арифметической взвешенной:
,
где индивидуальные значения осредняемого признака;
частота повторения признака в совокупности.
Для расчета средних затрат времени на изготовление одной детали необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала.
Например, для второй группы: (10+12)/2 = 11 мин.
Так как первый и последний интервал являются открытыми, то величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей (2), а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущей группы (2).
Таким образом, условно принимаем:
1 группа: 8 – 10 мин.
5 группа: 16 – 18 мин.
Составим расчетную таблицу 1.
Таблица 1
Расчет среднего значения и показателей вариации
Затраты времени на одну деталь, мин. Число изделий, шт
.
Середина интервала, мин.
До 10 11 9 99 -3,8 157,81
10 – 12 23 11 253 -1,8 73,50
12 – 14 54 13 702 0,2 2,44
14 – 16 17 15 255 2,2 83,21
16 и более 8 17 136 4,2 141,95
Итого: 113 – 1445 – 458,90
Определим средние затраты времени на изготовление одной детали:
мин.
2) Дисперсия − средний квадрат отклонений вариант от средней величины. Взвешенная дисперсия по сгруппированным данным рассчитывается по формуле:
Дисперсия составит:
Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии:
Определим среднее квадратическое отклонение:
мин.
3) Относительным показателем колеблемости признака является коэффициент вариации:
Коэффициент вариации позволяет сравнивать вариации различных признаков, а также одноименных признаков в разных совокупностях. Если величина коэффициента вариации , то исследуемую совокупность можно считать однородной по усредняемому признаку.
Определим коэффициент вариации:
4) Границы генеральной средней определяются по формуле:
,
где − генеральная средняя,
− выборочная средняя,
Δ− предельная ошибка выборочной средней.
Предельная ошибка выборочной средней определяется по формуле:
,
где − коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования;
n – объем выборочной совокупности,
N – объем генеральной совокупности,
доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;
− дисперсия признака выборочной совокупности.
При вероятности 0,954 коэффициент доверия .
Предельная ошибка выборочной средней составит:
мин.
Определим с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе:
мин
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
