В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров

А) Пусть событие A – среди вытащенных пяти шаров имеется 3 белых шара.
Решим данную задачу, используя формулу классического определения вероятности, которая выглядит так:
PA=mn
В данной формуле:
n- количество всех возможных элементарных исходов;
m- количество благоприятных событию A исходов.
Общее количество исходов равно количеству способов вытащить 5 шаров из всех имеющихся 11 шаров, поэтому:
n=C115=11!6!5!=7*8*9*10*111*2*3*4*5=55440120=462
Количество благоприятных исходов равно количеству вариантов вытащить 5 шаров из 11 шаров, так, чтобы среди них было 3 белых шара, тогда:
m=C53*C62=5!3!2!*6!4!2!=4*51*2*5*61*2=10*15=150
Тогда искомая вероятность равна:
PA=mn=150462=2577
б) Пусть событие B – среди вытащенных пяти белых шаров меньше чем 3 белых шара.
Благоприятными являются варианты, при которых среди вытащенных 5 шаров будет 0,1,2,3 белых шара.
Тогда количество благоприятных исходов равно:
m=C65*C50+C64*C51+C63*C52+C62*C53=6*1+6!4!2!*5+6!3!3!*5!2!3!+6!4!2!*5!3!2!=6+15*5+20*10+15*10=6+75+200+150=431
Тогда искомая вероятность равна:
PB=mn=431462
в) Пусть событие C – среди вытащенных пяти шаров есть хотя бы один белый шар.
Найдём вероятность данного события, используя вероятность противоположного события, заключающегося в том, что среди вытащенных пяти шаров нет ни одного белого шара.
Получим:
PC=1-PC=1-C65*C50C115=1-6462=456462=7677
Ответ: а) 25/77; б) 431/462; в) 76/77