В таблице приведены показатели деятельности торговых предприятий

Исследуем зависимость средней зарплаты от численности работников. Обозначим
x – численность работников, y – средняя зарплата, i – номер предприятия.
Составим расчетную таблицу.
i
xi
yi
xiyi
xi2
yi2
1 20 17,3 346 400 299,29
2 50 20,2 1010 2500 408,04
3 80 19,1 1528 6400 364,81
4 35 17 595 1225 289
5 115 20,3 2334,5 13225 412,09
6 40 19,1 764 1600 364,81
7 40 19,2 768 1600 368,64
8 50 19,2 960 2500 368,64
9 30 17 510 900 289
10 35 17,1 598,5 1225 292,41
11 70 19,3 1351 4900 372,49
12 120 21 2520 14400 441
13 100 20 2000 10000 400
14 70 19,7 1379 4900 388,09
15 65 19,2 1248 4225 368,64
16 80 19,1 1528 6400 364,81
17 150 21,3 3195 22500 453,69
18 50 18 900 2500 324
19 60 20 1200 3600 400
20 50 19,1 955 2500 364,81
Итого 1310 382,2 25690 107500 7334,26
n=20 – объем выборки.
Для вычисления коэффициента корреляции предварительно найдем
i=1nyi-yxi-x=i=1nxiyi-i=1nxii=1nyin=25690-1310∙382,220=655,9
i=1nxi-x2=i=1nxi2-i=1nxi2n=107500-1310220=21695
i=1nyi-y2=i=1nyi2-i=1nyi2n=7334,26-382,2220=30,418
Выборочный коэффициент корреляции
r=i=1nyi-yxi-xi=1nyi-y2i=1nxi-x2=655,921695∙30,418≈0,8074
Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции . Для этого вычислим статистику t:
t=rn-21-r2=0,807420-21-0,80742≈5,8059
Табличное значение критерия Стьюдента для n-2=20-2=18 степеней свободы и уровня значимости α=0,05 составляет
tn-2, α=2,1
Так как t>tn-2, α, то нулевая гипотеза об отсутствии корреляции отвергается, и полученный выборочны коэффициент корреляции статистически значим.
Таким образом, между переменными значимая прямая линейная связь.
Найдем коэффициенты парной линейной регрессии, предварительно вычислив средние значения и выборочные дисперсии переменных x и y
x=i=1nxin=131020=65,5
y=i=1nyin=382,220=19,11
sx2=i=1nxi2n-x2=10750020-65,52=1084,75
sy2=i=1nyi2n-y2=7334,2620-19,112=1,5209
sx=sx2=1084,75≈32,9355
sy=sy2=1,5209≈1,2332
Найдем оценки параметров регрессии
a1=rsysx=0,8074∙1,233232,9355≈0,0302
a0=y-a1x=19,11-0,0302∙65,5=17,1319
Таким образом, регрессия имеет вид
yx=17,1319+0,0302x
Рассчитаем значение yi=yxi=17,1319+0,0302xi для всех предприятий и занесем результаты вычислений в таблицу, найдя при этом εi=yi-y и εi2.
i
xi
yi
yi
εi
εi2
1 20 17,3 17,7359 -0,4359 0,19
2 50 20,2 18,6419 1,5581 2,4277
3 80 19,1 19,5479 -0,4479 0,2006
4 35 17 18,1889 -1,1889 1,4135
5 115 20,3 20,6049 -0,3049 0,093
6 40 19,1 18,3399 0,7601 0,5778
7 40 19,2 18,3399 0,8601 0,7398
8 50 19,2 18,6419 0,5581 0,3115
9 30 17 18,0379 -1,0379 1,0772
10 35 17,1 18,1889 -1,0889 1,1857
11 70 19,3 19,2459 0,0541 0,0029
12 120 21 20,7559 0,2441 0,0596
13 100 20 20,1519 -0,1519 0,0231
14 70 19,7 19,2459 0,4541 0,2062
15 65 19,2 19,0949 0,1051 0,011
16 80 19,1 19,5479 -0,4479 0,2006
17 150 21,3 21,6619 -0,3619 0,131
18 50 18 18,6419 -0,6419 0,412
19 60 20 18,9439 1,0561 1,1153
20 50 19,1 18,6419 0,4581 0,2099
Итого 1310 382,2 - - 10,5883
Найдем оценку дисперсии случайной компоненты ε
s2=1n-2i=1nεi2=10,588320-2≈0,5882
s=s2=0,5882≈0,7669
Проверим статистическую значимость параметра a1
σa1=si=1nxi-x2=0,766921695≈0,0052
ta1=a1σa1=0,03020,0052≈5,8077
Так как ta1>2,1, то параметр a1 статистически значим.
Проверим статистическую значимость регрессии в целом по критерию Фишера.
Известно, что
Q=i=1nyi-y2=30,418
Qe=i=1nyi-yi2=10,5883
Тогда
QR=Q-Qe=30,418-10,5883=19,8297
F=QRn-2Qe=19,8297∙1810,5883≈33,7103
Табличное значение критерия Фишера уровня значимости α=0,05 при 1 и 18 степенях свободы составляет
Fα,1,n-2=4,41
Так как F>Fα,1,n-2, то уравнение регрессии значимо по критерию Фишера.
Прогнозное значение средней зарплаты при xl=65,5 составит
yxl=17,1319+0,0302∙65,5=19,11
При этом оценка дисперсии ошибки прогноза
Dyxl-yxl=s21+1n+xl-x2i=1nxi-x2=0,5882∙1+120+65,5-65,5221695≈0,6176