По двум экономическим показателям Х и Y в 10 муниципальных районах региона (см. таблицу) требуется:
а) рассчитать параметры и построить графики уравнений парной регрессии:
- линейной ;
- степенной ;
- показательной ;
- гиперболической ;
- логарифмической ;
б) оценить тесноту связи с помощью коэффициента детерминации;
в) оценить качество регрессионных моделей с помощью показателя средней ошибки аппроксимации;
г) оценить с помощью критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования при уровне значимости 5%;
д) по вычисленным характеристикам выбрать лучшее уравнение регрессии.
Х 912 809 748 847 1087 1074 1008 682 697 1251
Y 461 524 298 351 624 584 425 277 321 573
Решение
Все расчеты будем проводить в программе Excel.
1. Построение линейной модели парной регрессии.
Уравнение линейной регрессии ищем в виде .
Воспользуемся данными таблицы 1.1.
Таблица 1.1 – Расчетная таблица для определения параметров линейной модели
х у Ai
1 912 461 444,0838 16,9162 3,6695
2 809 524 385,6200 138,3800 26,4084
3 748 298 350,9958 -52,9958 17,7838
4 847 351 407,1892 -56,1892 16,0083
5 1087 624 543,4155 80,5845 12,9142
6 1074 584 536,0366 47,9634 8,2129
7 1008 425 498,5743 -73,5743 17,3116
8 682 277 313,5336 -36,5336 13,1890
9 697 321 322,0477 -1,0477 0,3264
10 1251 573 636,5035 -63,5035 11,0826
Сумма 9115 4438 126,9067
Ср. зн. 911,5 443,8 12,6907
Приведем данные дополнительной регрессионной статистики, полученной с помощью встроенной функции ЛИНЕЙН:
Можем также воспользоваться инструментом АНАЛИЗ ДАННЫХ РЕГРЕССИЯ:
Имеем:
b=0,5676; a=-73,576; R2=0,697; Fнабл=18,444; .
Заметим, что значение общей суммы квадратов , которая понадобится в дальнейшем, можно найти путем сложения суммы квадратов отклонений, объясненную регрессией, и остаточной суммы квадратов отклонений:
.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
Определим линейный коэффициент парной корреляции:
(так как b>0).
Связь прямая, высокая.
Коэффициент детерминации R2=0,697, значит, вариация результата y на 69,7% объясняется вариацией фактора x.
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера. Fнабл=18,444. Так как α=0,05, k1=m=1 (число параметров при х), k2= n– m– 1= 10-1-1=8, то Fтабл=5,32.
Заметим, что табличное значение можно найти с помощью встроенной функции FРАСПОБР(0,05;1;8).
Fнабл>Fтабл, поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимо.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения . Полученные значения занесем в таблицу 1.1. Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации (с помощью двух последних столбцов таблицы 1.1):
.
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических значений для линейной модели на 12,69%.
С помощью средней ошибки аппроксимации оценим точность модели. Схема проверки:
Сравним: , следовательно, точность модели удовлетворительная, ближе к неудовлетворительной.
Значит, линейная регрессионная модель удовлетворительно описывает изучаемую закономерность.
Построим график линейной регрессии (рис.1.1).
Рис.1.1 – График линейной регрессии
2. Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения:
;
– уравнение линейной регрессии,
где .
Воспользуемся данными таблицы 1.2.
Таблица 1.2 – Расчетная таблица для определения параметров степенной модели
X=lgх Y=lgу Ai
1 2,9600 2,6637 437,1322 23,8678 5,1774 569,6735
2 2,9079 2,7193 376,3802 147,6198 28,1717 21791,6132
3 2,8739 2,4742 341,2833 -43,2833 14,5246 1873,4481
4 2,9279 2,5453 398,5821 -47,5821 13,5562 2264,0589
5 3,0362 2,7952 544,2531 79,7469 12,7800 6359,5744
6 3,0310 2,7664 536,1379 47,8621 8,1956 2290,7797
7 3,0035 2,6284 495,3189 -70,3189 16,5456 4944,7419
8 2,8338 2,4425 304,1053 -27,1053 9,7853 734,6963
9 2,8432 2,5065 312,4794 8,5206 2,6544 72,6003
10 3,0973 2,7582 648,6364 -75,6364 13,2001 5720,8650
Сумма 29,5147 26,2997 4394,3087 - 124,5908 46622,0513
Ср
. зн. 2,9515 2,6300 439,4309 - 12,4591 -
Для нахождения параметров используем встроенную функцию ЛИНЕЙН, для которой в качестве значений переменных выбираем диапазоны, содержащие данные признака X и Y:
Итак, b=1,2486; А=-1,0553; R2линеар=0,728; .
Получим линейное уравнение: .
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:
.
Уравнение степенной модели регрессии:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получим теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю относительную ошибку аппроксимации с помощью данных таблицы 1.2. Индекс корреляции:
– связь между показателем у и фактором х можно считать тесной.
Коэффициент детерминации:
.
Вариация результата у на 68,6% объясняется вариацией фактора х.
Оценка значимости уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера:
т.е. уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
.
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических значений для степенной модели на 12,46%. Сравним: , следовательно, точность модели удовлетворительная, ближе к неудовлетворительной.
Значит, степенная регрессионная модель удовлетворительно описывает изучаемую закономерность.
Построим график степенной регрессии (рис.1.2).
Рис.1.2 – График степенной регрессии
3. Построение показательной модели парной регрессии
Уравнение показательной модели имеет вид: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения:
;
– уравнение линейной регрессии,
где .
Для расчетов используем данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3 – Расчетная таблица для определения параметров показательной модели
х Y=lgу Ai
1 912 2,6637 426,8319 34,1681 7,4117 1167,4624
2 809 2,7193 372,2103 151,7897 28,9675 23040,1106
3 748 2,4742 343,2173 -45,2173 15,1736 2044,6087
4 847 2,5453 391,4968 -40,4968 11,5375 1639,9898
5 1087 2,7952 538,6360 85,3640 13,6801 7287,0066
6 1074 2,7664 529,4070 54,5930 9,3481 2980,3955
7 1008 2,6284 484,9352 -59,9352 14,1024 3592,2270
8 682 2,4425 314,3860 -37,3860 13,4968 1397,7159
9 697 2,5065 320,7183 0,2817 0,0878 0,0794
10 1251 2,7582 669,8584 -96,8584 16,9037 9381,5448
Сумма 9115 26,2997 4391,6972 - 130,7093 52531,1407
Ср. зн. 911,5 2,629968 439,1697 - 13,0709 -
Для нахождения параметров используем встроенную функцию ЛИНЕЙН, для которой в качестве значений переменных выбираем диапазоны, содержащие данные признака х и Y :
Итак, А=2,1037; В= 0,00057; R2линеар=0,7.
Линеаризованное уравнение: .
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:
.
Уравнение показательной модели регрессии:
или .
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получим теоретические значения результата
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
