В результате эксперимента получены данные

Упорядочим данные в выборке по возрастанию:
14 15,2 16,1 16,9 17,7 18,4 19,1 19,8 20,8 21,8
14,1 15,3 16,2 17,1 17,8 18,4 19,1 20,1 20,9 21,9
14,2 15,4 16,3 17,1 17,9 18,5 19,2 20,2 21,1 22,1
14,3 15,5 16,4 17,2 17,9 18,5 19,3 20,3 21,2 22,4
14,4 15,5 16,5 17,3 18,1 18,5 19,4 20,4 21,3 22,5
14,5 15,6 16,5 17,4 18,1 18,6 19,5 20,4 21,4 22,6
14,8 15,7 16,6 17,5 18,1 18,7 19,5 20,5 21,4 22,7
14,9 15,8 16,7 17,5 18,2 18,8 19,6 20,6 21,5 22,7
15,1 15,9 16,7 17,6 18,2 18,9 19,7 20,7 21,6 22,8
15,1 16,1 16,8 17,7 18,3 18,9 19,7 20,8 21,7 23
Сгруппируем данные в интервальную таблицу. Для этого найдем:
Объем выборки n=100; xmin=14; xmax=23
Разобьем выборку на 9 интервалов
Длина интервала:
h=xmax-xmink=23-149=1
xнач=xmin-0,5∙h=14-0,5=13,5
Построим интервальный ряд:
Интервал
Середина, xi
Частота, ni
Относительная частота Накопленная частота
(13,5;14,5]
14 6 0,06 0,06
(14,5;15,5]
15 9 0,09 0,15
(15,5;16,5]
16 11 0,11 0,26
(16,5;17,5]
17 12 0,12 0,38
(17,5;18,5]
18 17 0,17 0,55
(18,5;19,5]
19 12 0,12 0,67
(19,5;20,5]
20 10 0,10 0,77
(20,5;21,5]
21 11 0,11 0,88
(21,5;22,5]
22 7 0,07 0,95
(22,5;23,5]
23 5 0,05 1
Построим полигон и гистограмму относительных частот:
По накопленным относительным частотам составим эмпирическую функцию распределения:
F*x=0, x≤140,06, 14<x≤150,15, 15<x≤160,26, 16<x≤170,38, 17<x≤180,55, 18<x≤190,67, 19<x≤200,77, 20<x≤210,88, 21<x≤220,95, 22<x≤231, x>23
Построим график эмпирической функции распределения:
Вычислим числовые характеристики . Составим расчетную таблицу:
Составим расчетную таблицу:
№ xi
ni
xi∙ni
xi2∙ni
1 14 6 84 1176
2 15 9 135 2025
3 16 11 176 2816
4 17 12 204 3468
5 18 17 306 5508
6 19 12 228 4332
7 20 10 200 4000
8 21 11 231 4851
9 22 7 154 3388
10 23 5 115 2645

1833 34209
Выборочная средняя:
XВ=1n∙xi∙ni=1833100=18,33
Выборочная дисперсия:
DВ=1n∙xi2∙ni-XВ2=34209100-18,332=342,09-335,99=6,1
Исправленная дисперсия:
S2=nn-1∙DВ=10099∙6,1=6,16
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
s=S2=6,16≈2,48
Выдвинем нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение с параметрами распределения:
a≈XВ=18,33, σ≈s=2,48
Вычислим теоретические частоты попадания в каждый из интервалов:
ni'=pi∙n
pi=Фxi+1-18,332,48-Фxi-18,332,48
zi=xi-18,332,48 zi+1=xi+1-18,332,48
Составим расчетную таблицу:
Интервал zi
zi+1
Фzi
Фzi+1
pi
ni'
(-∞;14,5]
-∞
-1,544 -0,5 -0,4388 0,0612 6,12
(14,5;15,5]
-1,544 -1,141 -0,4388 -0,3731 0,0657 6,57
(15,5;16,5]
-1,141 -0,738 -0,3731 -0,2697 0,1034 10,34
(16,5;17,5]
-0,738 -0,335 -0,2697 -0,1311 0,1386 13,86
(17,5;18,5]
-0,335 0,069 -0,1311 0,0273 0,1584 15,84
(18,5;19,5]
0,069 0,472 0,0273 0,1815 0,1542 15,42
(19,5;20,5]
0,472 0,875 0,1815 0,3092 0,1277 12,77
(20,5;21,5]
0,875 1,278 0,3092 0,3994 0,0902 9,02
(21,5;22,5]
1,278 1,681 0,3994 0,4537 0,0543 5,43
(22,5;∞]
1,681 ∞
0,4537 0,5 0,0463 4,63
Вычислим значение критерия:
χэмп2=(ni-ni')2ni'
Составим расчетную таблицу:
ni
ni'
ni-ni'
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
6 6,12 -0,12 0,0144 0,002
9 6,57 2,43 5,9049 0,899
11 10,34 0,66 0,4356 0,042
12 13,86 -1,86 3,4596 0,25
17 15,84 1,16 1,3456 0,085
12 15,42 -3,42 11,6964 0,758
10 12,77 -2,77 7,6729 0,601
11 9,02 1,98 3,9204 0,435
7 5,43 1,57 2,4649 0,454
5 4,63 0,37 0,1369 0,03
3,556
По таблице критических значений, при уровне значимости α=0,25 и числу степеней свободы k=11-2-1=7, находим:
χкрит2=10,22
Так как χэмп2>χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
Построим доверительный интервал для математического ожидания:
XВ-tγ∙sn<a<XВ+tγ∙sn
tγ: 2Фtγ=γ => Фtγ=0,45 tγ=1,645
18,33-1,645∙2,48100<a<18,33+1,645∙2,48100 => 17,92<a<18,74