В результате эксперимента получены, данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:
а) записать значения результатов экспериментов в виде вариационного ряда;
б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов.
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
г) найти числовые характеристики выборки xB, DB;
д) приняв в качестве нулевой гипотезу H0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости α=0.25;
е) найти доверительный интервал для математического ожидания при надежности γ=0.9.
70 95 75 95 60 77 55 63 80 67
90 78 57 76 84 82 75 68 73 62
62 81 77 72 97 68 85 56 92 71
73 79 98 63 83 85 70 90 66 91
86 68 55 93 71 96 77 81 86 72
82 62 70 78 67 87 91 99 78 97
91 58 81 97 75 83 71 66 61 76
73 85 65 90 86 61 54 75 78 93
87 58 72 92 66 98 65 81 76 63
95 83 65 57 80 87 61 92 56 71
Решение
А) Определяем объем выборки: n=100
1) По значениям выборки X составляем вариационный ряд.
xi
54 55 56 57 58 60 61 62 63 65 66 67 68
mi
1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 2 3
xi
70 71 72 73 75 76 77 78 79 80 81 82 83
mi
3 4 3 3 4 3 3 4 1 2 4 2 3
xi
84 85 86 87 90 91 92 93 95 96 97 98 99 Итого
mi
1 3 3 3 3 3 3 2 3 1 3 2 1 100
б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов
Определяем минимальное и максимальное значения выборки X:
xmin=54;xmax=99
R=xmax-xmin=99-54=45
Находим длину интервала
hx=xmax-xmin9
Вычисляем:
hx=459=5
Далее устанавливаем границы частичных интервалов: левую границу первого интервала принимаем равной x0=xmin =54, далее x1=x0+l=54+5=59;x2=64;x3=69; x4=74;x5=79;x6=84;x7=89;x8=94;x9=99
На этом указанная процедура заканчивается, т.к. последующие частичные интервалы не будут содержать выборочных значений признака.
Приступаем к распределению по частичным интервалам выборочных значений признака, ставя в соответствие интервалу с номером i частоту ni как число выборочных значений признака, попавших в интервал. При этом договоримся, что если некоторое из выборочных значений совпадет с границей двух соседних интервалов, то будем относить его к предыдущему из них. Данные заносим в расчетную таблицу:
Начало интервала
xi
Конец интервала
xi+1
Середина интервала
xi
Частота интервала
mi
Относительная частота
wi=min
Накопительные частости
wiнак
54 59 56,5 9 0,09 0,09
59 64 61,5 10 0,1 0,19
64 69 66,5 11 0,11 0,3
69 74 71,5 13 0,13 0,43
74 79 76,5 14 0,14 0,57
79 84 81,5 12 0,12 0,69
84 89 86,5 10 0,1 0,79
89 94 91,5 11 0,11 0,9
94 99 96,5 10 0,1 1
Накопленные частости для каждого интервала находятся последовательным суммированием относительных частот всех предшествующих интервалов, включая данный.
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения
Распределение непрерывной случайной величины принято графически представлять кривой распределения, которая является графиком ее плотности вероятностей (дифференциальной функции распределения)
. В статистике одной из оценок кривой распределения является гистограмма относительных частот.
Это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями, которых служат частичные интервалы, а высотами являются относительные частоты wi на частичных интервалах.
Нередко от интервального распределения выборки бывает удобно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемой задаче такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы 3:
Таблица 3
xi
56,5 61,5 66,5 71,5 76,5 81,5 86,5 91,5 96,5
ni
9 10 11 13 14 12 10 11 10
wi
0,09 0,1 0,11 0,13 0,14 0,12 0,1 0,11 0,1
По полученной таблице может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках xi;wi.
Записываем эмпирическую функцию распределения (по значениям столбца wiнак).
F*x=0 при x≤56.50.09 при 56.5<x≤61.50.19 при 61.5<x≤66.50.3 при 66.5<x≤71.50.43 при 71.5<x≤76.50.57 при 76.5<x≤81.50.69 при 81.5<x≤86.50.79 при 86.5<x≤91.50.9 при 91.5<x≤96.51 при x>96.5
Строим график эмпирической функции распределения
г) найти числовые характеристики выборки xB, DB
Находим выборочную среднюю, выборочную дисперсию
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
