Найти общее решение дифференциального уравнения: 1+x2y''+2xy'=x3

1+x2y''+2xy'=x3
y''+2xy'1+x2=x31+x2
Сделаем замену:
y'=z;y''=z'
получим уравнение первого порядка:
z'+2xz1+x2=x31+x2
Сделаем замену:
z=uv;z'=u'v+uv'
u'v+uv'+2xuv1+x2=x31+x2
u'v+uv'+2xv1+x2=x31+x2
Составим систему:
v'+2xv1+x2=0u'v=x31+x2
Решаем каждое уравнение систем отдельно:
v'+2xv1+x2=0
v'=-2xv1+x2
dvdx=-2xv1+x2
dvv =-2xdx1+x2
lnv=lnx2+1
v=x2+1
Подставляем во второе уравнение системы:
u'*x2+1=x31+x2
u'=x31+x22
dudx=x31+x22
du=x3dx1+x22
u=121+x2+12lnx2+1+C1
Общее решение:
z=121+x2+12lnx2+1+C1*1+x2
z=12+1+x22lnx2+1+C11+x2
Сделаем обратную замену:
y'=z
y'=12+1+x22lnx2+1+C11+x2
y=-xcosx+C1xdx=-xcosxdx+C1xdx=-xcosxdx+C1x22+C2=uv-vdu=u=-xdu=-dxdv=cosxdxv=sinx=-xsinx+sinxdx+C1x22+C2=-xsinx-cosx+C1x22+C2