В результате анализа хозяйственной деятельности предприятия выявлены неиспользованные ресурсы, позволяющие освоить выпуск двух новых видов продукции Q и Z. В число этих ресурсов входит сырье двух видов в количестве C1 и С2, соответственно, имеются необходимые для этого фрезерные и строгальные станки, причем ресурс их свободного машинного времени, остающийся от основного производства, составляет Мф и Мс, соответственно. Кроме того, имеются свободные трудовые ресурсы в количестве Т.
На изготовление единицы продукции вида Q расходуется С1Q сырья первого вида и С2Q сырья второго вида, а на единицу продукции вида Z – C1Z и С2Z, соответственно. Нормы расхода машинного времени фрезерных станков на производство единицы продукции вида А - МфQ, а на производство единицы продукции вида В - МфZ. Для строгальных станков эти нормы составляют соответственно МсQ и МсZ . Нормы расхода трудовых ресурсов ТQ и ТZ, соответственно.
От реализации единицы продукции вида Q предприятие может получить прибыль в размере ПQ, а от единицы вида Z – ПZ условных единиц стоимости.
Необходимо:
1) составить математическую модель задачи;
2) решить ее графически, симплекс-методом и сделать экономический анализ полученного решения;
3) составить двойственную задачу, найти ее решение и дать его экономическую интерпретацию.
Исходные данные задачи приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные задачи
Нормы расхода ресурсов Запасы ресурсов Прибыль от реализации 1 продукции
на 1 прод. вида Q на 1 прод. вида Z
на 1 прод. вида Q на 1 прод. вида Z
С1Q=9 С1Z=1 C1 = (A+B)(C+D)(E+F)=4*14*19=1064 ПQ = B+C+E=17 ПZ =A+D+F=20
С2Q=3 С2Z=10 С2 =(B+C)(D+E)((F+A)=7*20*10=1400
МфQ =10 МфZ =10 Мф = (C+A)(E+B)(E+A)=5*13*11=715
МсQ =4 МсZ =9 Мc = (D+A)(E+B)(C+F)=11*13*13=1859
ТQ =10 ТZ =3 T = (E+C)(D+F)(B+F)=14*19*12=3192
Решение
Составим математическую модель задачи.
В качестве элементов решения задачи примем x1 - количество единиц продукции вида Q, x2 - количество единиц продукции вида Z, которое следует произвести в данных условиях.
Количество сырья первого вида, расходуемого на изготовление продукции вида Q и вида Z, составляет (9x1+x2) кг и не может превысить запасов - 1064 кг. Таким образом, получается первое ограничение
9x1+x2≤1064
Аналогично получаются ограничения на расход сырья второго вида, машинного времени фрезерного и строгального станка, трудовых ресурсов, получим
3x1+10x2≤1400
10x1+10x2≤715
4x1+9x2≤1859
10x1+3x2≤3192
Очевидно, что переменные x1,x2 не могут принимать отрицательные значения:
x1,x2≥0
Прибыль от реализации всей продукции вида Q составит 17x1 тыс. руб., a вида Z - 20x2 тыс. руб. Таким образом, целевая функция - прибыль от реализации всей продукции равна 17x1+20x2 и должна быть максимальной
F=17x1+20x2→max
На основании вышеизложенного получаем математическую модель задачи оптимизации планирования производства:
F=17x1+20x2→max
9x1+x2≤10643x1+10x2≤140010x1+10x2≤7154x1+9x2≤185910x1+3x2≤3192x1,x2≥0
Требуется найти неотрицательные значения переменных x1,x2, удовлетворяющие системе ограничений (7) и доставляющие максимум функции F=17x1+20x2.
2. Решим задачу графическим методом.
Построим область допустимых решений системы неравенств. Областью решения каждого из неравенств является полуплоскость, лежащая по одну сторону от соответствующей граничной прямой:
9x1+x2=10643x1+10x2=140010x1+10x2=7154x1+9x2=185910x1+3x2=3192x1=0x2=0
Каждая прямая может быть построена по двум точкам:
9x1+x2=1064
3x1+10x2=1400
10x1+10x2=715
4x1+9x2=1859
10x1+3x2=3192
x1
x2
x1
x2
x1
x2
x1
x2
x1
x2
0 1064 0 140 0 71,5 0 206,6 0 1064
118,2 0 466,67 0 71,5 0 464,75 0 319,2 0
Чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставим координаты какой-либо точки в левую часть каждого неравенства. Так, например, подставим координаты точки О(0,0) в левую часть первого ограничения. То есть координаты этой точки первому неравенству удовлетворяют и, следовательно, полуплоскость включает начало координат. Координаты точки О(0,0) удовлетворяют также всем остальным неравенствам. Штриховкой отметим найденные полуплоскости. Так же строим область допустимых решений ограничений x1,x2≥0.
Областью допустимых решений (ОДР) является треугольник OAB
. Найдем в этой области оптимальное решение.
Построим вектор C, координаты которого равны частным производным функции F по переменным x1 и x2: n=∂F∂x1;∂F∂x2={17;20}. Этот вектор является градиентом функции F=17x1+20x2 и указывает направление возрастания ее значений.
Рисунок 1 – Графическое решение задачи
Зафиксируем какое-нибудь значение функции F=const, получим линейное уравнение 17x1+20x2=const, графиком которого является прямая, называемая линией уровня. Градиент перпендикулярен линиям уровня. Построим линию уровня целевой функции для значения F=0:17x1+20x2=0 по двум точкам
17x1+20x2=0
x1
x2
0 0
200 -170
Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до конца ОДР, то есть до точки А с координатами (0;71,5). Максимальное значение целевой функции при этом составит Fmax=17∙0+71,5∙20=1430 тыс. руб.
Произведем технико-экономический анализ полученного решения. При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 1690 тыс. руб. может быть получена при производстве 0 единиц продукции вида Q и 71,5 единиц продукции вида Z. При этом машинное время фрезерных станков будет израсходовано полностью (то есть находится в дефиците). Об этом свидетельствует тот факт, что оптимальное решение достигается в точке пересечения линии, характеризующей ограничение по машинному времени фрезерных станков и оси ОХ1. Остальные виды сырья, расхода времени строгальных станков и трудовых ресурсов остаются в избытке:
9∙0+71,5=71,5≤10641064-71,5=992,53∙0+10∙71,5=715≤14001400-715=68510∙0+10∙71,5=7154∙0+9∙71,5=643,5≤18591859-760,5=1215,510x1+3x2=10∙0+3∙71,5=214,5≤31923192-214,5=2977,5
Если увеличить общее время работы фрезерных станков (например, закупить несколько дополнительных станков), то, можно, например, добиться того, чтобы производить оба вида продукции. Так ОДР можно увеличить до точки D, в которой функция примет максимальное значение. Найдем координаты точки D – точка пересечения двух прямых:
9x1+x2=10643x1+10x2=1400-90x1-10x2=-106403x1+10x2=1400-87x1=-9240x1≈106,21
x2≈1064-9∙106,21=108,11
Максимальная прибыль F=17x1+20x2=3967,77 тыс. руб. (увеличилась на 2277,77 тыс. руб.)
Теперь дефицитными являются первое и второе сырье, а общее время работы фрезерных станков должно быть 106,21∙10+108,11∙10=2143,2 или его следует увеличить минимум на 2143,2-845=1298,2.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
