Рассчитайте значение неизвестного объема продукции для потребителя так

1. Рассчитываем значение неизвестного объема продукции для потребителя так, чтобы задача была сбалансированной.
В общем случае условие разрешимости транспортной задачи состоит в том, что сумма запасов поставщиков в пунктах отправления (ПО) должна быть равна суммарной потребности потребителей в пунктах назначения (ПН) , то есть транспортная задача должна быть закрытой.
Согласно условию нашей задачи имеем:
m = 4; n = 5;
= a1 + a2 + a3 + a4 = 18 + 12 + 17 + 13 = 60.
Выражение для определения неизвестного значения b5 имеет вид:
b5 = – b1 – b2 – b3 – b4 = 60 – 8 – 12 – 8 – 8 = 24.  
Таким образом, условие разрешимости транспортной задачи выполнено.
Вводим обозначения: xij – объемы перевозок грузов между ПО Ai и ПН Bj; cij – заданные стоимости перевозки единицы продукции между ПО Ai и ПН Bj.
Математическая модель нашей транспортной задачи в виде задачи линейного программирования формулируется так: найти совокупность значений переменных xij ≥ 0, минимизирующих целевую функцию (суммарные затраты на перевозки) при ограничениях по m = 4 поставщикам , и n = 5 потребителям , .
2. Выполняем первоначальное распределение поставок методом наименьших затрат.
Составляем рабочую таблицу представления числовых данных задачи:
ПН B1 B2 B3 B4 B5 ui
ПО
b1=8 b2=12 b3=8 b4=8 b5=24
A1 a1=18
21
22
2
13
7
A2 a2=12
27
10
4
24
9
A3 a3=17
3
16
25
5
4
A4 a3=13
28
11
17
10
29
vj
Выполняем первоначальное распределение поставок X(0) методом наименьших затрат.
В соответствии с этим методом перевозки распределяются в первую очередь в те ячейки распределительной таблицы, которые имеют наименьшую стоимость. Если же наименьшие стоимости совпадают, то ячейку можно выбрать произвольно. Объем перевозки, вносимый в ячейку, определяется как минимальное значение среди значений запаса и потребности xij = min(ai, bj). При этом исключается или только строка, или только столбец. Соответственно, или в столбце, или в строке образуется остаток (возможно, даже нулевой), который распределяется на последующих шагах процесса распределения на общих основаниях .
а). Наименьшая стоимость 2 в ячейке (1, 3). Назначаем x13 = 8. Столбец B3 исключаем. Остаток a1 = 10.
б). Наименьшая стоимость 3 в ячейке (3, 1). Назначаем x31 = 8. Столбец B1 исключаем. Остаток a3 = 9.
в). Наименьшая стоимость 4 в ячейке (3, 5). Назначаем остаток x35 = 9. Строку A3 исключаем. Остаток b5 = 15.
г). Наименьшая стоимость 7 в ячейке (1, 5). Назначаем остаток x15 = 10. Строку A1 исключаем. Остаток b5 = 5.
д). Наименьшая стоимость 9 в ячейке (2, 5). Назначаем остаток x25 = 5. Столбец B5 исключаем. Остаток a2 = 7.
е). Наименьшая стоимость 10 в ячейках (2, 2) и (4, 4). Выбираем и назначаем x44 = 8. Столбец B4 исключаем. Остаток a4 = 5.
ж). Заполняем остатками x22 = 7 и x42 = 5 незаполненные ячейки (2, 2) и (2, 4).
Все перевозки распределены.
Первоначальное распределение поставок X(0) транспортной задачи, составленное по методу наименьших затрат, имеет вид:
X(0) ПН B1 B2 B3 B4 B5 ui
ПО
b1=8 b2=12 b3=8 b4=8 b5=24
A1 a1=18
21
22
2
13
7
8
10
A2 a2=12
27
10
4
24
9
7
5
A3 a3=17
3
16
25
5
4
8
9
A4 a3=13
28
11
17
10
29
5
8
vj
Первоначальное распределение поставок содержит m + n – 1 = 4 + 5 – 1 = 8 занятых клеток, следовательно, опорное решение – невырожденное.
Значение целевой функции:
Z(X(0)) = 2·8+7·10+10·7+9·5+3·8+4·9+11·5+10·8 = 396. 
3. Полученное распределение поставок оптимизируем методом потенциалов, используя оценки свободных клеток.
Для проверки, является ли распределение поставок оптимальным, строится система потенциалов поставщиков ui и потребителей vj.
Чтобы распределение поставок было оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
1) для каждой занятой ячейки должно выполняться ui + vj + cij = 0;
2) для каждой свободной ячейки должно выполняться ui + vj + cij ≥ 0.
Проверяем, является ли найденное распределение поставок X(0) оптимальным. Для этого строим систему потенциалов ui и vj из условия выполнения равенства ui + vj + cij = 0 для каждой из занятых ячеек.
1). Полагаем u1 = 0 (1).
2). Для занятой ячейки (1, 3); v3 = –2 (2); u1 + v3 + c13 = 0 – 2 + 2 = 0. 
3). Для занятой ячейки (1, 5); v5 = –7 (3); u1 + v5 + c15 = 0 – 7 + 7 = 0.
4). Для занятой ячейки (2, 5); u2 = –2 (4); u2 + v5 + c25 = –2 – 7 + 9 = 0.
5). Для занятой ячейки (2, 2); v2 = –8 (5); u2 + v2 + c22 = –2 – 8 + 10 = 0.
6). Для занятой ячейки (4, 2); u4 = –3 (6); u4 + v2 + c42 = –3 – 8 + 11 = 0.
7). Для занятой ячейки (4, 4); v4 = –7 (7); u4 + v4 + c44 = –3 – 7 + 10 = 0.
8). Для занятой ячейки (3, 5); u3 = 3 (8); u3 + v5 + c35 = 3 – 7 + 4 = 0.
9). Для занятой ячейки (3, 1); v1 = –6 (9); u3 + v1 + c31 = 3 – 6 + 3 = 0.
Найденные значения потенциалов заносим в рабочую таблицу (в скобках указан номер шага их вычисления)