Ut-4uxx=2x+3t, 0<x<3, t>0,
(1)
ux0,t=0, u3,t=2,
(2)
ux,0=0.
(3)
Замечание. Решим задачу в постановке, как написано в условии, но скорее всего в тексте опечатка. Сказано, что отрезок, на котором поставлена задача длины l=2, а с другой стороны явно написано граничное условие на правом краю ub,t=a, т.е. u3,t=2, следовательно, отрезок длины 3. Получается, что в этом варианте значение l вообще не нужно. Может быть предполагалось, что условие имеет вид ul,t=a. В первом варианте такая же заморочка. А во всех остальных вариантах второе граничное условие задано при x=l.
Ответ
ux,t=2+4k=0∞-2-1kπ1+2ke-π(1+2k)32t+54-1kπ1+2k-2π41+2k41-e-π(1+2k)32t+243-1kπ51+2k5e-π(1+2k)32t-1+π21+2k2t9cosπ(1+2k)x6.
Решение
Сведем смешанную задачу (1) – (3) к задаче с однородными граничными условиями (2). Для этого подберем функцию w(x,t), удовлетворяющую граничным условиям (2). Учитывая тип граничных условий функцию w(x,t) можно взять в виде
wx,t=ux0,tx-3+u3,t=2.
Проведем замену
ux,t=vx,t+wx,t=vx,t+2.
Задача для функции vx,t примет вид
vt-4vxx=2x+3t,
(4)
vx0,t=0, v3,t=0.
(5)
vx,t+2t=0=vx,0+2=0,
vx,0=-2.
(6)
Найдем собственные функции соответствующей смешанной задачи с однородным уравнением теплопроводности
vt-4vxx=0.
(7)
Используем метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение уравнения (7) в виде произведения
vx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (7)
Xx∙T't-4X''x∙Tt=0
Xx∙T't=4X''x∙Tt.
Разделим равенство на 4Xx∙Tt, получим
T'(t)4T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получаются два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T't+4λTt=0.
Подставляя vx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (5), получим
X'0⋅Tt=0, X3⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=0, X3=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X'(0)=0, X3=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'(0)=λC2=0 X3=C1 cos3λ+C2 sin3λ=0
Поскольку λ=0 не является собственным значением такой задачи Штурма-Лиувилля, следовательно, C2=0
. Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cos3λ=0,
3λ=π2+πk=π(1+2k)2, k=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=π1+2k62, k=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=cosπ(1+2k)x6, k=0,1,2,…
Решение задачи (4) − (6) представим в виде ряда
vx,t=k=0∞TktXkx=k=0∞Tk(t)cosπ(1+2k)x6.
Подставим в уравнение (4)
k=0∞Tk'tcosπ(1+2k)x6=-4k=0∞π(1+2k)62Tk(t)cosπ(1+2k)x6+2x+3t.
Разложим функцию 2x+3t в ряд по собственным функциям cosπ(1+2k)x6k=0∞
2x+3t=k=0∞gk+fktcosπ(1+2k)x6,
gk=23032xcosπ(1+2k)x6dx=8π1+2k03x dsinπ(1+2k)x6=
=8π1+2kxsinπ(1+2k)x603-03sinπ(1+2k)x6dx=
=8π1+2k3sinπ1+2k2+6π1+2kcosπ(1+2k)x603=
=8π1+2k3-1k-6π1+2k=24-1kπ1+2k-2π21+2k2,
fk=23033cosπ(1+2k)x6dx=12π1+2ksinπ(1+2k)x603=12-1kπ1+2k.
Тогда уравнение (4) примет вид
k=0∞Tk't+π(1+2k)32Tk(t)cosπ(1+2k)x6=k=0∞gk+fktcosπ(1+2k)x6.
В силу полноты системы функций cosπ(1+2k)x6k=0∞ уравнение для функции Tkt примет вид
Tk't+π(1+2k)32Tkt=gk+fkt.
(8)
Подставляем vx,t в начальные условия (6)
vx,0=k=0∞Tk0cosπ(1+2k)x6=-2=k=0∞ψkcosπ(1+2k)x6.
ψk=2303(-2)cosπ(1+2k)x6dx=-8π1+2ksinπ(1+2k)x603=-8-1kπ1+2k.
Получаем начальные условия для функций Tkt
Tk0=ψk.
(9)
Общее решение неоднородного уравнения (8)
Tkt=Tkоднt+Tkчастt,
где Tkоднt − решение соответствующего однородного уравнения
Tkоднt=Ake-π(1+2k)32t,
Tkчастt − частное решение неоднородного уравнения (8)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
