Требуется в течение заданной наработки t=2000 ч определить показатели надежности системы по структурной схеме согласно варианту 13

В исходной схеме элементы 3, 4 и 5; 6, 7 и 8; 9, 10 и 11 по тройкам образуют последовательное соединение. Заменяем их соответственно эквивалентными элементами A, B и C, для которых необходимо определить вероятность безотказной работы (ВБР). Учитывая, что p3=p4=p5=p6=p7=p8=p9=p10=p11=p=0,99, получим:
PA=PB=PC=p3*p4*p5=p3=0,993=0,9703.
Рисунок 2 – Преобразованная схема
По рисунку 2, в свою очередь, элементы A, B и C представляют собой подсистему «2 из 3». Заменим их на эквивалентный элемент D. ВБР такой подсистемы рассчитывается по биномиальному закону:
PD=k=23C3k*PAk*1-PA3-k=C32*PA2*1-PA3-2+C33*PA3*1-PA3-3=
=3!2!*3-2!*PA2*1-PA+3!3!*3-3!*PA3*1-PA0=
=3*PA2*1-PA+PA3=3*PA2-2*PA3=
=3*0,97032-2*0,97033=0,99741.
В результате получаем следующую преобразованную схему:
Рисунок 3 – Окончательная схема
В схеме по рисунку 3 элементы 1, 2, 12, 13 и элемент D образуют мостиковую схему . Для ее расчета в качестве базового элемента выбираем диагональный элемент D. При PD=1 мостиковая схема превращается в параллельно-последовательное соединение (рисунок 4, а), а при PD=0 – в последовательно-параллельное (рисунок 4, б).
Рисунок 4 – Преобразование мостиковой схемы при работоспособном (а) и отказавшем (б) базовом элементе
Тогда для схемы «короткое замыкание» для ВБР можно записать:
PI=p1+p2-p1*p2*p12+p13-p12*p13=
=p+p-p*p*p+p-p*p=2*p-p22=
=2*0,99-0,9922=0,9998.
Соответственно для схемы «разрыв цепи» справедлива следующая запись для ВБР:
PII=p1*p12+p2*p13-p1*p12*p2*p13=
=p*p+p*p-p*p*p*p=2*p2-p4=
=2*0,992-0,994=0,9996.
Здесь было учтено:
p1=p2=p12=p13=p=0,99.
В результате мостиковая схема заменяется эквивалентным элементом E, ВБР для которого, а равно и ВБР всей рассматриваемой системы в целом, определяется следующим образом:
PS=PE=PD*PI+1-PD*PII=
=0,99741*0,9998+1-0,99741*0,9996=0,999799.
Соответствующая вероятность отказа системы будет равна:
QS=1-PS=1-0,999799=0,0002.
Так как все элементы системы находятся в режиме нормальной эксплуатации, то их ВБР подчинены экспоненциальному закону распределения, и значит, интенсивность отказов системы можно определить следующим образом:
λS=-lnPSt=-ln0,9997992000=1,005*10-7 1ч.
Гамма-процентная наработка на отказ системы определяется выражением:
Tγ=-lnPγλS=-ln0,751,005*10-7=2862508 ч.

Ответ: вероятность безотказной системы – 0,9998, вероятность отказа – 0,0002