Дано:
Схема VI; L1 = 1,5 м; L2 = 7,0 м; а1/а = 5; а2/а = 5; а3/а = 2; М0 = 5 кН·м; Р = 5 кН;
q = 7 кН/м.
Для заданных двух схем балок.
Требуется: написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти Мmax и подобрать:
1. Для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения при
[σ] = 8 МПа.
2. Для схемы (б) стальную балку двутаврового поперечного сечения при
[σ] = 160 МПа.
Решение
Расчет схемы а) - деревянной консольной балки.
Размер «а» равен: а = L1/10 = 1,5/10 = 0,15 м.
Размеры: а1 = 5а = 5·0,15 = 0,75 м, а2 = 5а = 5·0,15 = 0,75 м, т.к. а1 = а2, то консольная балка будет иметь только два силовых участка.
Для каждого из участков составляем аналитические зависимости Q = Q(z) и
М= M(z), по которым определяем характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки и вычисляем их величины в характерных сечениях.
Участок I (АВ): 0 ≤ z1 ≤ a2 = 5а = 0,75 м.
Q(z1) = q·z1 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QА = q·0 = 0, Q(0,75) = QправВ = 7,0·0,75 = 5,25 кН.
М(z1) = - q·z21/2 - уравнение параболы.
М(0) = МА = - q·02/2 = 0; М(0,75) = МВ = - 7,0·0,752/2 = - 1,97 кН·м.
Участок II (ВC): 0 ≤ z2 ≤ a1 = 0,75 м.
Q(z2) = - P + q·а2 = - 5 + 7·0,75 = 0,25 кН = const, следовательно QлевВ = QС =
= 0,25 кН
М(z2) = P·z2 - q·а2(а2/2 + z2) - уравнение наклонной прямой
М(0) = МВ = P·0 - 7,0·0,75·(0,75/2 + 0 ) = - 1,97 кН·м.
М(0,75) = МС = 5·0,75 - 7,0·0,75·(0,75/2 + 0,75 ) = -2,16 кН·м. По полученным результатам в масштабе строим эпюры Q и М и делаем проверку их проверку на основе дифференциальных зависимостей Журавского и правил, вытекающих из них.
Условие прочности при прямом поперечном изгибе имеет вид:
σmax = Mmax/WX ≤ [σ], где Mmax = МС = 2,16 кН·м.
Для круглого поперечного сплошного сечения момент сопротивления определяется по формуле: WX = π·d3/32
. Подставляя в условие прочности и решая относительно диаметра d, получим:
d ≥ (32·Mmax/π·[σ])1/3 = (32·2,16·103/3,14·8·106)1/3 = 14,0·10-2 м = 140,0 мм. Принимаем окончательно, d = 140 мм = 0,14 м.
Расчет схемы б) - 2-х опорной балки
Размер «а» равен: а = L2/10 = 7,0/10 = 0,7 м.
Размеры: а1 = 5а = 5·0,7 = 3,5 м, а2 = 5а = 5·0,7 = 3,5 м, а3 = 2а = 2·0,7= 1,4 м.
Освобождаем балку от связей (опор), заменяя их действие реакциями связей.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия в виде:
ΣМВ = 0; YЕ·L2 - M0 - q·а22/2 + q·а23/2 = 0, (1)
ΣМЕ = 0; - YВ·L2 - M0 + q·(а3 + а2)·[а1 + (а3 + а2 )/2)] = 0, (2). Из уравнения (1), находим:
YE = ( M0 + q·а22/2 - q·а23/2)/L2 = (5 +7·3,52/2 - 7·1,42/2)/7,0 = 5,86кН.
Из уравнения (2), получаем:
YВ = (- M0 + q·(а3 + а2)·[а1 + (а3 + а2 )/2)])/L2 = (-5 +7·(1,4+3,5)·[3,5 + (1,4+3,5)/2) ]/7 = = 28,44 кН.
Осуществляем проверку найденных реакций:
Должно выполняться условие равновесия ΣY = 0.
ΣY = YВ+ YЕ - q·(а2 + а3) = 28,44 + 5,86 - 7·(3,5 + 1,4) = 34,3 - 34,3 = 0, следова - тельно опорные реакции определены - правильно.
Разбиваем длину балки на три силовых участка: I, II и III, как показано на рисунке.
Для каждого из участков составляем аналитические зависимости Q = Q(z) и
М= M(z), по которым определяем характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки и вычисляем их величины в характерных сечениях.
Участок I (АВ): 0 ≤ z1 ≤ а3 = 1,4 м.
Q(z1) = - q·z1 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QА = - q·0 = 0 кН.
Q(1,4) = QлевВ = - 7,0·1,4 = - 9,8 кН,
M(z1) = - q·z21/2 - уравнение параболы.
M(0) = MА = - q·02/2 = 0,
M(1,4) = MВ = - 7,0·1,42/2 = - 6,86кН·м.
Участок II (EC): 0 ≤ z2 ≤ а1 = 3,5 м.
Q(z2) = - YE = - 5,86 кН = const, следовательно QЕ = QС = - 5,86 кН.
M(z2) = YE·z2 - уравнение наклонной прямой.
M(0) = MЕ = YE ·0 = 0,
M(3,5) = MправС = 5,86·3,5 = 20,51 кН·м.
Участок III (CВ): 0 ≤ z3 ≤ а2 = 3,5 м.
Q(z3) = -YЕ + q·z3 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QС = - 5,86 + q·0 = - 5,86 кН.
Q(3,5) = QправВ = - 5,86 + 7,0·3,5 = 18,64 кН
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
