Дано:
Схема VI; L1 = 1,5 м; L2 = 6,0 м; а1/а = 5; а2/а = 5; а3/а = 1; М0 = 5 кН·м; Р = 5 кН;
q = 6 кН/м.
Для заданных двух схем балок.
Требуется: написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти Мmax и подобрать:
1. Для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения при
[σ] = 8 МПа.
2. Для схемы (б) стальную балку двутаврового поперечного сечения при
[σ] = 160 МПа.
Решение
Расчет схемы а) - деревянной консольной балки.
Размер «а» равен: а = L1/10 = 1,5/10 = 0,15 м.
Размеры: а1 = 5а = 5·0,15 = 0,75 м, а2 = 5а = 5·0,15 = 0,75 м, т.к. а1 = а2, то консольная балка будет иметь только два силовых участка.
Для каждого из участков составляем аналитические зависимости Q = Q(z) и
М= M(z), по которым определяем характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки и вычисляем их величины в характерных сечениях.
Участок I (АВ): 0 ≤ z1 ≤ L1 - a2 = 5а = 0,75 м.
Q(z1) = 0 = const, т.е. QА = QправВ = 0.
М(z1) = 0 = const, т.е. МА = МВ = 0.
Участок II (ВC): 0 ≤ z2 ≤ a1 = 0,75 м.
Q(z2) = - P + q·z2 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QлевВ = - 5 + q·0 = - 5,0 кН.
Q(0,75) = QС = - 5 + 6·0,75 = - 0,5 кН.
М(z2) = P·z2 - q·z22/2 - уравнение параболы.
М(0) = МС = P·0 - q·02/2 = 0.
М(0,75) = МС = 5·0,75 - 6·0,752/2 = 2,06 кН·м. По полученным результатам в масштабе строим эпюры Q и М и делаем проверку их проверку на основе дифференциальных зависимостей Журавского и правил, вытекающих из них.
Условие прочности при прямом поперечном изгибе имеет вид:
σmax = Mmax/WX ≤ [σ], где Mmax = МС = 2,06 кН·м.
Для круглого поперечного сплошного сечения момент сопротивления определяется по формуле: WX = π·d3/32
. Подставляя в условие прочности и решая относительно диаметра d, получим:
d ≥ (32·Mmax/π·[σ])1/3 = (32·2,06·103/3,14·8·106)1/3 = 13,79·10-2 м = 137,9 мм. Принимаем окончательно, округляя в большую сторону d = 138 мм = 0,138 м.
Расчет схемы б) - 2-х опорной балки
Размер «а» равен: а = L2/10 = 6,0/10 = 0,6 м.
Размеры: а1 = 5а = 5·0,6 = 3,0 м, а2 = 5а = 5·0,6 = 3,0 м, а3 = а = 0,6 м.
Освобождаем балку от связей (опор), заменяя их действие реакциями связей.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия в виде:
ΣМА = 0; YC·L2 - P·(L2 + а3) - M0 - q·а22/2 = 0, (1)
ΣМC = 0; - YA·L2 - M0 - P·а3 + q·а2·(а1 + а2/2) = 0, (2). Из уравнения (1), находим:
YC = [P·(L2 + а3) + M0 + q·а22/2]/L2 = [5·(6,0 + 0,6) + 5 + 6·32/2]/6,0 = 10,83кН.
Из уравнения (2), получаем:
YA = [- M0 - P·а3 + q·а2·(а1 + а2/2)]/L2 = [-5 - 5·0,6 + 6·3·(3+3/2)]/6 = 12,17 кН.
Осуществляем проверку найденных реакций:
Должно выполняться условие равновесия ΣY = 0.
ΣY = YA+ YC - P - q·а2 = 12,17 + 10,83 - 5 - 6·3 = 23,0 - 23,0 = 0, следовательно опорные реакции определены - правильно.
Разбиваем длину балки на три силовых участка: I, II и III.
Для каждого из участков составляем аналитические зависимости Q = Q(z) и
М= M(z), по которым определяем характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки и вычисляем их величины в характерных сечениях.
Участок I (АВ): 0 ≤ z1 ≤ а2 = 3,0 м.
Q(z1) = YA - q·z1 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QА = 12,17 - 6·0 = 12,17 кН.
Q(3,0) = QВ = 12,17 - 6·3,0 = - 5,83 кН, следовательно на этом участке поперечная сила Q меняет свой знак
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
