Требуется исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики по плану:
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной, т. е. симметричен ли её график относительно оси ординат или начала координат.
3. Найти вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы монотонности, т. е. интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.
6. Построить график функции, используя все собранные данные (если их окажется недостаточно, чтобы представить график функции, то найти несколько дополнительных точек, например, точки пересечения с осями координат).
a)y=x3+6∙x2+9∙x-4; б) y=2x+1x2.
Решение
A)y=x3+6∙x2+9∙x-4
Воспользуемся схемой полного исследования (см. 4.18).
1)Областью определения функции y=x3+6∙x2+9∙x-4 является вся числовая прямая, т.е. x∈-∞;+∞.
2) Проверим, является ли функция чётной или нечетной. Найдем
f-x=-x3+6∙-x2+9∙-x-4=-x3+6∙x2-9∙x-4.
Т. к. f(– х) ≠ f(х) и f(– х) ≠ - f(х) (см. 4.12), то функция является ни четной ни нечетной. Ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
3)Найдем асимптоты:
Т.к. функция определена на всей области определения, т.е. x∈-∞;+∞, то вертикальных асимптот нет.
Наклонную асимптоту ищем в виде y=kx+b, где (см. 4.14.3)
k=limx→±∞fxx=limx→±∞x3x3+6∙x2x3+9∙xx3-4x3xx3=limx→±∞1+6x+9x2-4x31x2=10=±∞.
limx→±∞6x=0; limx→±∞9x2=0; limx→±∞ 4x3=0; limx→±∞1x2=0 .
Наклонной асимптоты нет.
4)Найдем интервалы монотонности и точки экстремума функции Найдем первую производную функции.
y'=x3+6∙x2+9∙x-4'=3x2+12x+9.
Найдем критические точки I-го рода (см. 4.15), для чего приравняем первую производную к нулю:
y'⇒3x2+12x+9=0⇒x2+4x+3=0⇒x1=-3; x2=-1.
Точек, где первая производная не существует, нет.
Следовательно, x1=-3; x2=-1 - критические точки I-го рода. Составим таблицу промежутков монотонности функции и определим знак производной у'(х) в любой точке каждого промежутка:
X -∞;-3
-3 -3;-1
-1 -1;+∞
y'
+ 0 --- 0 +
y - 4 -8
Точка
max
Точка
min
На интервалах -∞;-3; -1;+∞ знак первой производной положительный, поэтому на этих интервалах функция возрастает. На интервале -3; -1 знак первой производной меньше нуля, поэтому на этом интервале функция убывает.
(см. 4.13 ). При переходе через критическую точку x1=-3 производная y(x)' меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, х = -3 - точка максимума (см
. 4.16)
При переходе через критическую точку x2=-1 производная y(x)' меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, х = -1 - точка минимума (см. 4.16).
Найдем значения функции y=x3+6∙x2+9∙x-4 в точках экстремума:
ymax=y(-3)=-33+6∙-32+9∙-3-4=-4⇒А(-3;-4)- точка максимума,
ymin=y(-1)=-13+6∙-12+9∙-1-4=-8⇒ В(- 1 ; - 8) – точка минимума.
Найдём интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба (см 4.17.1 и 4.17.2). Из производной
y''=y''=3x2+12x+9'=6x+12 найдём критические точки II-го рода, для чего приравняем к нулю производную второго порядка (см. 4.17.2).
y''=0⇒6x+12=0⇒x=-2.
Точек, где вторая производная не существует, нет. Следовательно, x=-2 - критическая точка II-го рода.
Составим таблицу промежутков выпуклости и вогнутости графика функции и определим знак второй производной у''(х) в любой точке каждого промежутка.
Х -∞;-2
-2 -2;+∞
y''
--- 0 +
у ∩
-6 ∪
Точка
перегиба
На интервале -∞;-2 кривая выпукла, на интервале -2;+∞ кривая вогнута.
При переходе через критические точки II-го рода x=-2 вторая производная меняет знак, а график функции y=x3+6∙x2+9∙x-4 меняет направление выпуклости, следовательно точка x=-2 - точка перегиба графика функции (см. 4.17.2).
Найдем значение функции в точке перегиба:
ут.перег.=у(-2)=-23+6∙-22+9∙-2-4=-6⇒С-2; -6 - точка перегиба.
Нанесем на числовую прямую все полученные точки х1, х2, х и расставим на каждом полученном интервале «стрелочки» и «дуги»: ( ; ) ; ∪ ; ∩.
∩ х1 ∩ х ∪ х2 ∪ Х
Составим график функции из выделенных дуг, предварительно построив точки А, В, С.
б) y=2x+1x2
Воспользуемся схемой полного исследования (см. 4.18).
1) Найдем область определения функции y=2x+1x2
Функция не определена, если х = 0, в остальных точках функция существует
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
