Степенные ряды Определить область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Степенные ряды Определить область сходимости степенного ряда

Степенные ряды Определить область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда. n=1∞x+3nn*5n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

An=x+3nn*5n
an+1=x+3n+1n+1*5n+1
Находим R:
R=limn→∞an+1an=limn→∞x+3n+1n+1*5n+1x+3nn*5n=limn→∞x+3n+1*n*5nn+1*5n+1*x+3n=limn→∞x+3n*x+3*n*5nn+1*5n*5*x+3n=limn→∞x+3*nn+1*5=x+3*limn→∞n5n+5=∞∞=x+3*limn→∞nn5nn+5n=x+3*limn→∞15+5n→0=x+3*15
Значит область сходимости
-1<15x+3<1
-5<x+3<5
-8<x<2
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=2; n=1∞2+3nn*5n= n=1∞5nn*5n= n=1∞1n
Данный ряд является расходящимся гармоническим рядом.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-8; n=1∞-8+3nn*5n=n=1∞-5nn*5n=n=1∞-1nn
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1nn=-1+12-13+…Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞1n=0члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n
Данный ряд является расходящимся гармоническим рядом.
Значит, границы не включают в область сходимости
-8<x<2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу