Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 2a2-z2x2-a2y2=0 в точке А(a,a,a)

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Уравнение касательной имеет вид:
z-z0=fx'x0,y0,z0(x-x0)+fy'x0,y0,z0(y-y0)
Уравнение нормали имеет вид
x-x0fx'x0,y0,z0=y-y0fy'x0,y0,z0=z-z0-1
Так как функция задана в неявном виде, то частные производные найдем по формулам: ∂z∂x=-∂f(x,y,z)∂x∂f(x,y,z)∂z ∂z∂y=-∂f(x,y,z)∂y∂f(x,y,z)∂z
∂f(x,y,z)∂x=2x2a2-z2
∂f(x,y,z)∂y=-2a2y
∂f(x,y,z)∂z=-2zx2
∂z∂x=-2x2a2-z22zx2=-2a2-z2zx
∂z∂y=-2a2y-2zx2=a2yzx2
В точке А(a,a,a)вычислим значения частных производных
fx'a,a,a=-2a2-a2a*a=-1
fy'a,a,a=a2aa*a2=1
Получим уравнение касательной плоскости к поверхности в точке A
z-a=-x+a+(y-a)
Уравнение нормали имеет вид
x-a-1=y-a1=z-a-1
Получим критическую точку М1(-4,1/2)
Найдем частные производные второго порядка
∂2z∂x∂y=1
∂2z∂x2=16x3
∂2z∂y2=-2y2
Найдем значения производных второго порядка в критической точке
В=∂2z∂x∂y(-4,1/2)=1
А=∂2z∂x2(-4,1/2)=-1/4
С=∂2z∂y2(-4,1/2)=-16
АС-В2=3>0, и А<0, в точке М1-4,1/2 имеется максимум
zmax=z(-4,1/2)=-6

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу