Составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот, построить гистограмму и полигон относительных частот.
2. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
3. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса.
4. Исходя из общих представлений о механизме образования СВ Х, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и вычисленным числовым характеристикам, выдвинуть гипотезу о виде закона распределения СВ Х; записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения для выдвинутого гипотетического закона, заменяя параметры закона вычисленными для них оценками.
5. Вычислить интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительным вероятностям р = 0,95 и р = 0,99.
Данные о длине заготовок после их первоначальной обработки приведены в таблице в миллиметрах.
Решение
1151 1158 1152 1155 1160 1151 1154 1156 1160 1151 1153 1155
1154 1156 1151 1156 1151 1154 1153 1157 1154 1154 1152 1154
1155 1152 1153 1156 1157 1155 1155 1153 1157 1158 1156 1158
1159 1156 1159 1156 1160 1153 1152 1156 1151 1157 1154 1158
1158 1160 1154 1159 1153 1157 1158 1157 1159 1155 1159 1158
1153 1151 1152 1154 1160 1155 1151 1159 1155 1158 1152 1153
1159 1155 1160 1158 1159 1152 1157 1156 1160 1151 1157 1154
1155 1157 1160 1152 1159 1159 1153 1159 1154 1158 1160 1158
1157 1156 1151 1160
Для нашего примера: xmax- xmin = 1160-1151=9.
Увеличим диапазон до отрезка [1151; 1160] длины 10.
Этот отрезок удобно разбить на 5 интервалов длины h = 2
За начало первого интервала берем целое число 1150.
Результаты промежуточных расчетов приведены в табл 2.
Таблица 2
№п/п Частичные интервалы Середины интервалов Частоты ni
Относительные частоты Накопленные частоты
1 [1150;1152] 1151 10 0,1 0,1
2 (1152;1154] 1153 17 0,17 0,27
3 (1154;1156] 1155 11 0,11 0,38
4 (1156;1158] 1157 20 0,2 0,58
5 (1158;1160] 1159 42 0,42 1
Итого
100 1
На основании найденных значений относительных частот и накопленных относительных частот построим графики гистограммы и полигона относительных частот (рис. 1 и 2).
Рис.1. График гистограммы
Рис.2. График полигона
2
. Эмпирическая функция распределения СВ Х определяет для каждого значения x относительную частоту события (Х < х): ( ) , где nх - число значений СВ Х в выборке, меньших х; n - объем выборки.
Значения эмпирической функции распределения находятся как накопленные частоты. График представлен на рис. 3.
Аналитически эмпирическая функция записывается в виде:
Рис.3. График эмпирической функции распределения
3.Вычислим оценки числовых характеристик распределения. Несмещенной и состоятельной оценкой начального момента первого порядка (математического ожидания) является выборочное среднее
Составим дополнительную таблицу:
№п/п Частичные интервалы Середины интервалов Частоты ni
1 [1150;1152] 1151 10 11510 285,16 -1522,73 8131,39
2 (1152;1154] 1153 17 19601 189,65 -633,41 2115,61
3 (1154;1156] 1155 11 12705 19,75 -26,47 35,47
4 (1156;1158] 1157 20 23140 8,71 5,75 3,79
5 (1158;1160] 1159 42 48678 297,18 790,49 2102,69
Итого
100 115634 800,44 -1386,38 12388,95
Несмещенная оценка дисперсии:
Тогда
Для характеристики асимметрии и эксцесса используют центральные моменты третьего и четвертого порядков 3 и 4 . Для этого вычисляют безразмерные величины - выборочный коэффициент асимметрии, и - эксцесс или коэффициент крутости.
Получаем
Заметим, что для нормального закона коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
