Система случайных величин (X Y) подчинена закону распределения с плотностью f

Найдем параметр а из условия нормировки:
Dfxdxdy=1
гдеD – круг x2+y2≤R2, где R2=16 =>R=4
Получим:
Dfxdxdy=Da4-x2+y2dxdy
Перейдем к полярной системе координат:
x=cosφy=sinφ
dx dy=rdrdφ, x2+y2=r
Область D:0≤φ≤2π, 0≤r≤R
Сделаем замену:
Da4-x2+y2dxdy=aD4-rrdrdφ=a02πdφ044r-r2dr
=2πa×4r22-r3304=2πa×4×422-433-4×022+033=
=2πa×436=πa×433=πa×643
πa×643=1
a=364π
Тогда плотность распределения буде иметь вид:
fx=364π(4-x2+y2), при x2+y2≤160, при x2+y2>16
найдем вероятность попадания случайной величины (X,Y) в область D1.
Вероятность равна интегралу от совместной плотности распределения по данной области
Перейдем к полярной системе координат:
x=cosφy=sinφ
dx dy=rdrdφ, x2+y2=r
Область D1:0≤φ≤2π, 0≤r≤1
Сделаем замену:
P=D1fxdxdy=364πD14-rrdrdφ=364π02πdφ014r-r2dr
=364π×2π×2r2-r3301=332×2×12-133-2×02+033=
=332×53=532