Система двух непрерывных случайных величин (Х,У) имеет равномерное распределение в области D=x,yx2+y2≤1;0≤y≤12;y≥x3
Найти:
плотность распределения;
вероятность Р[(Х,У) G] попадания в область G=(х,у) х2+у2 1; у ;
плотности распределения f1(x) и f2(x) случайных величин Х и У и условные плотности (х у) и (у х);
математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;
дисперсии D(X), D(Y);
корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.
Решение
Плотность распределения.
Плотность двумерного равномерного распределения в области D
fx,y=1C, в области D0, вне области D
где C – площадь области D.
Для нахождения постоянной C используем свойство совместной плотности распределения вероятностей
-∞∞-∞∞fx,ydxdy=1C-∞∞-∞∞dxdy=1C012dy-1-y23ydx=1C0123y+1-y2dy=1C0123ydy+1C0121-y2dy=3Cy22012+1C12y1-y2012+12arcsiny012=38C+12C1234+π6=38C+38C+π12C=34C+π12C=33+π12C=1
33+π12C=1 ⟹C=33+π12
Для вычисления двойного интеграла выше использовали:
1-y2dy=u=1-y2dv=dydu=-ydy1-y2v=y=y1-y2--y21-y2dy=y1-y2-1-y2-11-y2dy=y1-y2-1-y2dy+11-y2dy=y1-y2-1-y2dy+arcsiny ⟹ 1-y2dy=12y1-y2+12arcsiny
Плотность распределения
fx,y=1233+π, в области D0, вне области D
вероятность Р[(Х,У) G] попадания в область G=(х,у) х2+у2 1; у .
20345401423035G
00G
PX,Y⊂G=Gfx,ydxdy=1-1233+π012dy-y33ydx=1-1233+π0123y+y3dy=1-1233+π3y22012+y223012=1-1233+π38+183=1-1233+π∙123=1-69+π3=3+π39+π3≈0,5845
плотности распределения f1(x) и f2(x) случайных величин Х и У и условные плотности (х у) и (у х).
Найдем плотность распределения f1x
При -1<x<-32
f1x=-∞∞fx,ydy=1233+π01-x2dy=1233+πy01-x2=121-x233+π
При -32<x<0
f1x=-∞∞fx,ydy=1233+π012dy=1233+πy012=633+π
При 0<x<32
f1x=-∞∞fx,ydy=1233+πx312dy=1233+πyx312=1233+π12-x3=1233+π3-2x23
Плотность распределения f1x имеет вид
f1x=0, x<-1 121-x233+π, -1<x<-32633+π, -32<x<01233+π3-2x23, 0<x<320,x>0
Найдем плотность распределения f2y
f2y=-∞∞fx,ydx=1233+π-1-y23ydx=1233+πx-1-y23y=1233+π∙3y+1-y2
Плотность распределения f2y имеет вид
f2y=0, y<0 1233+π∙3y+1-y2, 0<y<120,y>12
Условные плотности
φxy=fx,yf2y=1233+π∙33+π123y+1-y2=13y+1-y2
ψyx=fx,yf1x=11-x22233-2x
математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания.
Математические ожидания
MX=-∞∞-∞∞xfx,ydxdy=1233+π012dy-1-y23yxdx=633+π0123y2-1+y2dy=633+π4y33012-y012=633+π16-12=633+π16-12=-233+π≈-0,2399
MY=-∞∞-∞∞yfx,ydxdy=1233+π012ydy-1-y23ydx=1233+π012y3y+1-y2dy=1233+π0123y2dy+012y1-y2dy=1233+π3y33012-131-y232012=1233+π324-38-13=1233+π-23+824=4-333+π≈0,272
-0,2399;0,272 - центр рассеивания.
дисперсии D(X), D(Y).
Для нахождения дисперсий предварительно найдем
-∞∞-∞∞x2fx,ydxdy=1233+π012dy-1-y23yx2dx=433+π01233y3+1-y232dy=u=1-y232dv=dydu=-3y1-y2dyv=y=433+π33y44012+y1-y232012+3012y21-y2dy=y=sintdy=costdty→12; t→π6y→0; t→0=433+π3364+3316+30π6sin2tcos2tdt=433+π12364+340π6sin22tdt=433+π12364+340π61-cos4t2dt=433+π12364+38t-14sin4t0π6=433+π12364+38π6-38=433+π12364+π16-3364=433+π12364+4π64=123+4π1633+π=33+π433+π=14=0,25
-∞∞-∞∞y2fx,ydxdy=1233+π012y2dy-1-y23ydx=1233+π012y23y+1-y2dy=1233+π0123y3+y21-y2dy=1233+π3y44012+012y21-y2dy=y=sintdy=costdty→12; t→π6y→0; t→0=1233+π364+0π6sin2tcos2tdt=1233+π364+140π6sin22tdt=1233+π364+140π61-cos4t2dt=1233+π364+18t-14sin4t0π6=1233+π364+18π6-38=1233+π364+π48-364=π433+π≈0,0942
Дисперсии
DX=-∞∞-∞∞x2fx,ydxdy-MX2≈0,25--0,23992≈0,1924
DY=-∞∞-∞∞y2fx,ydxdy-MY2≈0,0942-0,2722≈0,0202
корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.
Для нахождения корреляционного момента предварительно найдем
-∞∞-∞∞xyfx,ydxdy=1233+π012ydy-1-y23yxdx=633+π012y3y2-1+y2dy=633+π0124y3-ydy=633+πy4012-y22012=633+π116-18=-3833+π≈-0,045
Cxy=-∞∞-∞∞xyfx,ydxdy-MXMY=-0,045--0,2399∙0,272≈0,0203
Коэффициент корреляции
rxy=Cxyσxσy=0,02030,1924∙0,0202≈0,3256
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
