Сформулировать задачу двойственную линейной производственной задаче

Пусть в условиях этой задачи требуется дать оценку каждому ресурсу. Оценка ресурса должна показывать, насколько увеличится прибыль, если количество ресурса увеличить на единицу. Проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок у(у1, y2, y3) минимизирующий общую оценку всех ресурсов
Установим соответствие между переменными
x1,x2,x3,x4 - основные переменные x5,x6,x7-дополнительные
y5,y6,y7,y8 -дополнительные переменные y1,y2,y3-основные
Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
4y1+ 2y2+4 y3≥482y1+ y3≥153y1+ 3y2≥11y1+2y2+ 5y3≥32yi≥0 i=1,2,3
W= 116y1 + 94y2 + 196y3 → min
Двойственная задача заключается в определении такого плана, при котором стоимость остатков ресурсов будет минимальна. Она дает ответ на вопрос: какой вид сырья более дефицитный.
Решение найдем с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальности допустимых решений (х1, х2, х3, х4) и (y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий
х14y1+ 2y2+4 y3-48=0y1(4x1+ 2x2+3 x3+ x4+x5-116)=0
х22y1+ y3-15=0 y2(2x1+ 3x3+2x4 +x6-94)=0
х33y1+ 3y2-11=0 y3(4x1+ x2+ 5x4 +x7-196)=0
х4y1+2y2+ 5y3-32=0
В решении прямой задачи мы нашли, что х1>0, x4>0, поэтому
4y1+ 2y2+4 y3-48=0
y1+2y2+ 5y3-32=0
Учитывая, что второй ресурс был избыточным, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна y2=0, получим систему уравнений
4y1+4 y3-48=0
y1+ 5y3-32=0
Получим y1=7, y3=5
Это двойственные оценки ресурсов y1=7, y2=0, y3=5 (также эти оценки находятся в последней строке последней симплекс таблицы оптимального плана прямой задачи) .
Общая оценка всех ресурсов W= 116*7 + 94*0 + 196*5=1792 - min
Из второй основной теоремы двойственности следует, что технология, применяемая с ненулевой интенсивностью, имеет нулевую оценку, а технология, применяемая с нулевой интенсивностью, имеет положительную оценку.
Оценка 1-ой технологии: ∆1 = 4y1+ 2y2+4 y3-48
∆1 = 4*7+ 2*0+4*5-48
∆1 = 0
1-ая технология применяется (производство продукции первого вида входит в оптимальную производственную программу).
Оценка 2-ой технологии: ∆2 = 2y1+ y3-15
∆2 = 2*7+ 1*5-15
∆2 = 4
Данная оценка показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида, то прибыль уменьшится на 4 денежные единицы, поэтому 2-ой вид продукции не входит в оптимальную производственную программу.
Оценка 3-ей технологии: ∆3 = 3y1+ 3y2-11
∆3 = 3*7+ 3*0-11
∆3 = 10
Данная оценка показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида, то прибыль уменьшится на 10 денежных единиц, поэтому 3-ий вид продукции не входит в оптимальную производственную программу.
Оценка 4-ой технологии: ∆4 = y1+2y2+ 5y3-32
∆4 = 7+2*0+ 5*5-32∆1 = 0
4-ая технология применяется (производство продукции четвертого вида входит в оптимальную производственную программу).
Двойственная оценка первого ресурса у1=7 показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост прибыли в 7 единиц, а для третьего ресурса добавление одной единицы даст прирост прибыли 5 единиц.
Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то найдем такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ∆ сi