Сетевое планирование и управление

В исходной схеме разобьем элементы на два блока:
- блок 1: элементы 1, 2, 3 и 6;
- блок 2: элементы 4, 5, 7, 8 и 9;
- блок 3: элемент 10.
Рассматриваем блок 1. Элементы 1, 2 и 3 образуют параллельную структуру. Соответствующая функция структуры:
φ1-3t=1-1-X1t1-X2t1-X3t=X1t+X2t+X3t-
-X1tX2t-X1tX3t-X2tX3t+X1tX2tX3t.
Элемент 6 соединен с элементами 1,2,3 последовательно, поэтому функция структуры блока 1:
φбл1t=X6tφ1-3t=X6tX1t+X2t+X3t-
-X1tX2t-X1tX3t-X2tX3t+X1tX2tX3t=
=X1tX6t+X2tX6t+X3tX6t-X1tX2tX6t-X1tX3tX6t-
-X2tX3tX6t+X1tX2tX3tX6t.
Рассматриваем блок 2. Элементы 7, 8 и 9 образуют параллельную структуру. Соответствующая функция структуры:
φ7-9t=1-1-X71t1-X8t1-X9t=X7t+X8t+X9t-
-X7tX8t-X7tX9t-X8tX9t+X7tX8tX9t.
Элементы 4 и 5 образуют последовательную структуру. Соответствующая функция структуры:
φ45t=X4tX5t.
Функция структуры блока 2:
φбл2t=φ45tφ7-9t=X4tX5tX7t+X8t+X9t-
-X7tX8t-X7tX9t-X8tX9t+X7tX8tX9t=
=X4tX5tX7t+X4tX5tX8t+X4tX5tX9t-X4tX5tX7tX8t-
-X4tX5tX7tX9t-X4tX5tX8tX9t+X4tX5tX7tX8tX9t.
Блоки 1 и 2 совместно образуют параллельную структуру. Соответствующая функция структуры:
φбл12t=1-1-φбл1t1-φбл2t=φбл1t+φбл2t-φбл1tφбл2t=
=X1tX6t+X2tX6t+X3tX6t-X1tX2tX6t-X1tX3tX6t-
-X2tX3tX6t+X1tX2tX3tX6t+X4tX5tX7t+X4tX5tX8t+
+X4tX5tX9t-X4tX5tX7tX8t-X4tX5tX7tX9t-
-X4tX5tX8tX9t+X4tX5tX7tX8tX9t+X1tX4tX5tX6tX7t+
+X1tX4tX5tX6tX8t+X1tX4tX5tX6tX9t+X2tX4tX5tX6tX7t+
+X2tX4tX5tX6tX8t+X2tX4tX5tX6tX9t+X3tX4tX5tX6tX7t+
+X3tX4tX5tX6tX8t+X3tX4tX5tX6tX9t-
-X1tX4tX5tX6tX7tX8t-X1tX4tX5tX6tX7tX9t-
-X1tX4tX5tX6tX8tX9t-X2tX4tX5tX6tX7tX8t-
-X2tX4tX5tX6tX7tX9t-X2tX4tX5tX6tX8tX9t-
-X3tX4tX5tX6tX7tX8t-X3tX4tX5tX6tX7tX9t-
-X3tX4tX5tX6tX8tX9t-X1tX2tX4tX5tX6tX7t-
-X1tX2tX4tX5tX6tX8t-X1tX2tX4tX5tX6tX9t-
-X1tX3tX4tX5tX6tX7t-X1tX3tX4tX5tX6tX8t-
-X1tX3tX4tX5tX6tX9t-X2tX3tX4tX5tX6tX7t-
-X2tX3tX4tX5tX6tX8t-X2tX3tX4tX5tX6tX9t+
+X1tX4tX5tX6tX7tX8tX9t+X2tX4tX5tX6tX7tX8tX9t+
+X31tX4tX5tX6tX7tX8tX9t+X1tX2tX4tX5tX6tX7tX8t+
+X1tX2tX4tX5tX6tX7tX9t+X1tX2tX4tX5tX6tX8tX9t+
+X1tX3tX4tX5tX6tX7tX8t+X1tX3tX4tX5tX6tX7tX9t+
+X1tX3tX4tX5tX6tX8tX9t+X2tX3tX4tX5tX6tX7tX8t+
+X2tX3tX4tX5tX6tX7tX9t+X2tX3tX4tX5tX6tX8tX9t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7t+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX8t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX9t-X1tX2tX4tX5tX6tX7tX8tX9t-
-X1tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX9t-
-X2tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX9t-
-X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX8t-
-X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX9t-
-X1tX2tX3tX4tX5tX6tX8tX9t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX9t.
Параллельное соединение блоков 1 и 2 образует с блоком 3 (единственный элемент 10) последовательную структуру . Поэтому функция структуры всей системы:
φSt=φбл12tX10t=
=X1tX6tX10t+X2tX6tX10t+X3tX6tX10t-X1tX2tX6tX10t-
-X1tX3tX6tX10t-X2tX3tX6tX10t+X1tX2tX3tX6tX10t+
+X4tX5tX7tX10t+X4tX5tX8tX10t+X4tX5tX9tX10t-
-X4tX5tX7tX8tX10t-X4tX5tX7tX9tX10t-
-X4tX5tX8tX9tX10t+X4tX5tX7tX8tX9tX10t+
+X1tX4tX5tX6tX7tX10t+X1tX4tX5tX6tX8tX10t+
+X1tX4tX5tX6tX9tX10t+X2tX4tX5tX6tX7tX10t+
+X2tX4tX5tX6tX8tX10t+X2tX4tX5tX6tX9tX10t+
+X3tX4tX5tX6tX7tX10t+
+X3tX4tX5tX6tX8tX10t+X3tX4tX5tX6tX9tX10t-
-X1tX4tX5tX6tX7tX8tX10t-X1tX4tX5tX6tX7tX9tX10t-
-X1tX4tX5tX6tX8tX9tX10t-X2tX4tX5tX6tX7tX8tX10t-
-X2tX4tX5tX6tX7tX9tX10t-X2tX4tX5tX6tX8tX9tX10t-
-X3tX4tX5tX6tX7tX8tX10t-X3tX4tX5tX6tX7tX9tX10t-
-X3tX4tX5tX6tX8tX9tX10t-X1tX2tX4tX5tX6tX7tX10t-
-X1tX2tX4tX5tX6tX8tX10t-X1tX2tX4tX5tX6tX9tX10t-
-X1tX3tX4tX5tX6tX7tX10t-X1tX3tX4tX5tX6tX8tX10t-
-X1tX3tX4tX5tX6tX9tX10t-X2tX3tX4tX5tX6tX7tX10t-
-X2tX3tX4tX5tX6tX8tX10t-X2tX3tX4tX5tX6tX9tX10t+
+X1tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t+
+X2tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t+
+X3tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t+
+X1tX2tX4tX5tX6tX7tX8tX10t+
+X1tX2tX4tX5tX6tX7tX9tX10t+
+X1tX2tX4tX5tX6tX8tX9tX10t+
+X1tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX10t+
+X1tX3tX4tX5tX6tX7tX9tX10t+
+X1tX3tX4tX5tX6tX8tX9tX10t+
+X2tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX10t+
+X2tX3tX4tX5tX6tX7tX9tX10t+
+X2tX3tX4tX5tX6tX8tX9tX10t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX10t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX8tX10t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX9tX10t-
-X1tX2tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t-
-X1tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t-
-X2tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t-
-X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX10t-
-X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX9tX10t-
-X1tX2tX3tX4tX5tX6tX8tX9tX10t+
+X1tX2tX3tX4tX5tX6tX7tX8tX9tX10t.
Учитывая, что в соответствии с постановкой задания надежность каждого элемента системы определится в виде:
Rit=e-λit,
функция надежности системы имеет вид:
RSt=
=e-λ1+λ6+λ10t+e-λ2+λ6+λ10t+e-λ3+λ6+λ10t-e-λ1+λ2+λ6+λ10t-
-e-λ1+λ3+λ6+λ10t-e-λ2+λ3+λ6+λ10t+e-λ1+λ2+λ3+λ6+λ10t+e-λ4+λ5+λ7+λ10t+
+e-λ4+λ5+λ8+λ10t+e-λ4+λ5+λ9+λ10t-e-λ4+λ5+λ7+λ8+λ10t-e-λ4+λ5+λ7+λ9+λ10t-
-e-λ4+λ5+λ8+λ9+λ10t+e-λ4+λ5+λ7+λ8+λ9+λ10t+e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t+
+e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t+e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t+e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t+
+e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t+e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t+e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t+
+e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t+e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t-e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t-
-e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t-e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t-e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t-
-e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t-e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t-e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t-
-e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t-e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t-e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t-
-e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t-e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t-e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t-
-e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t-e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t-e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t-
-e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t-e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t+e-λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t+
+e-λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t+e-λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t+
+e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t+e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t+
+e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t+e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t+
+e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t+e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t+
+e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t+e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t+
+e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t+e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10t+
+e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10t+e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10t-
-e-λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t-e-λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t-
-e-λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t-e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10t-
-e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10t-e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10t+
+e-λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10t.
Функцию отказов систем определим стандартно:
QSt=1-RSt.
Среднее время безотказной работы системы определяем по общей формуле:
Tср=0∞RStdt.
В силу многочисленности слагаемых и во избежание нагромождения вычислений, суть данного интегрирования покажем подробно на примере первого слагаемого:
0∞e-λ1+λ6+λ10tdt=-e-λ1+λ6+λ10tλ1+λ6+λ10∞0=0--1λ1+λ6+λ10=
=1λ1+λ6+λ10=11200+1200+1300=14300=3004=75 часов.
Таким образом:
Tср=75+85,7+92,3-60-63,2-70,6+52,2+89,6+56,1+77,9-43,8-
-61,9-43,8+38,2+47,2+35,9+43,8+51,3+38,2+47,2+53,6+39,5+
+49,2-32,1-38,2-30,5-33,9-40,8-32,1-34,9-42,3-33-40,8-
-32,1-38,2-42,3-33-39,5-45,5-34,9-42,3+29+29,7+29+33,9+
+27,6+29,7+34,9+28,3+31,3+37+29,7+37+29,7+34,9-25,3-
-25,9-27-27-31,3-25,9+23,8=266,3 часа.