Считая независимые выборки извлеченными из нормальных генеральных совокупностей X и Y

Представим совокупность X в виде вариационного ряда и посчитаем количество частот
xi
2 3 4 5 7 8 9 11
ni
1 1 1 2 1 4 1 6
Найдем точечные оценки для X, для этого составим расчетную таблицу:
xi
ni
xini
xi2ni
2 1 2 4
3 1 3 9
4 1 4 16
5 2 10 50
7 1 7 49
8 4 32 256
9 1 9 81
11 6 66 726
∑ 17 133 1191
MX=xB=1nxini=13317
Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления DX=x2-x2. Имеем:
x2=1ni=1kxi2ni=119117
DX=x2-x2=119117-133172=2558289
Находим выборочное с.к.о.:
σX=DX=2558289≈2.98
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
S2X=nn-1*DX=1716*2558289≈9.404
Найдем точечные оценки для Y, для этого составим расчетную таблицу:
yi
ni
yini
yi2ni
4 3 12 48
5 2 10 50
7 2 14 98
12 2 24 288
14 2 28 392
16 3 48 768
∑ 14 136 1644
MY=yB=1nyini=13614
Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления DY =y2-y2. Имеем:
y2=1ni=1kyi2ni=164414
DY=y2-y2=164414-136142=113049
Находим выборочное с.к.о.:
σY=DY=113049≈4.802
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
S2Y=nn-1*DY=1413*113049≈24.835
Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx ≠ Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:
Fнабл=sb2sm2=2612.543=2.073
Поскольку sy2 > sx2, то sб2 = sy2, sм2 = sx2
Числа степеней свободы:
f1 = nу – 1 = 15 – 1 = 14
f2 = nx – 1 = 15 – 1 = 14
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.2 и данным числам степеней свободы находим Fкр(14;14) = 2.46
Т.к . Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).
б) Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx > Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:
Fнабл=sb2sm2=2612.543=2.073Поскольку sy2 > sx2, то sб2 = sy2, sм2 = sx2
Числа степеней свободы:
f1 = nу – 1 = 15 – 1 = 14
f2 = nx – 1 = 15 – 1 = 14
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.05 и данным числам степеней свободы находим Fкр(14;14) = 2.46
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).
2) 2. считая, что генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми при уровне значимости α=0.2 проверить нулевую гипотезу о равенстве средних генеральных совокупностей при конкурирующей гипотезе:
а) Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних (t-критерий Стьюдента):
H0: MX=MYАльтернативная гипотеза формулируется в соответствии с условиями задачи или эксперимента:
H1: MX≠MY(критическая область – двусторонняя)
Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:
tнабл=6.6-815*11.707+15*24.267*15*15*15+15-215+15=0.873Число степеней свободы f = nх + nу – 2 = 15 + 15 – 2 = 28
Критическая область – двусторонняя: (-∞;-tkp)U(tkp;+∞).
Определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
Tтабл(n1+n2-2;α/2) = Tтабл(28;0.1) = 28
tkp = 28
Экспериментальное значение критерия T не попало в критическую область T < tkp, поэтому нулевую гипотезу следует принять