Решите дифференциальное уравнение: 35x-46yx=33yxddxyx

Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Перепишем его в виде: yx=y, dyxdx=y':
35xy-46=33y'.
Пусть xy=t⇒y=xt, y'=t-xt't2, тогда:
35t-46=33t-xt't2
35t3-46t2=33t-33xt'
dxx=33dt-35t3+46t2-33t; dxx=33dt-35t2+46t-33t.
Разложим дробь на простейшие:
33-35t2+46t-33t=At+B-35t2+46t-33+Ct
At+B-35t2+46t-33+Ct=At2+Bt-35Ct2+46Ct-33C-35t2+46t-33t=
=A-35Ct2+B+46Ct-33C-35t2+46t-33t.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t:
A-35C=0B+46C=0-33C=33⇒A=-35B=46C=-1.
Получим:
33-35t2+46t-33t=-35t+46-35t2+46t-33-1t.
Найдем интеграл:
33dt-35t2+46t-33t=
=12d-35t2+46t-33-35t2+46t-33-2335dtt2-2∙2435t+24352-24352+3335-lnt=
=12ln-35t2+46t-33-2335dtt-24352+579352-lnt+C=
=ln-35t2+46t-33t-23579arctg35t-24579+C.
Вернемся к замене:
lnx=ln-35x2y2+46xy-33xy-23579arctg35xy-24579+C⇒
lnx=ln-35x2+46xy-33y2x-23579arctg35x-24y579y+C-
общий интеграл.
При делении на y потеряли решение y=0 при x=0