Результаты измерений представлены таблицей

Упорядочим данные в выборке по возрастанию:
63 75 79 81 84 86 88 90 92 95
66 76 79 82 84 86 88 90 92 95
69 76 79 82 84 86 88 90 93 96
71 76 79 83 85 86 89 91 94 96
72 77 79 83 85 87 89 91 94 96
73 77 79 83 85 87 89 91 94 96
73 78 79 83 85 87 89 91 95 96
73 78 80 84 85 87 89 92 95 96
74 78 81 84 85 87 90 92 95 97
75 78 81 84 85 88 90 92 95 103
Объем выборки n=100
xmin=63, xmax=103
Размах выборки: R=xmax-xmin=103-63=40
Разобьем выборку на 10 интервалов.
Ширина интервалов:
h=R10=4010=4
За начало первого интервала примем:
x0=xmin-h2=63-2=61, xi+1=xi+h
Подсчитаем количество вхождений вариант в каждый из интервалов, относительные частоты, плотность относительных частот. Перейдем к дискретному вариационному ряду, приняв за варианты середины интервалов
wi=nin, fi=ninh
№ Интервал Середина Частота Относ. частота Плотность Накопл. частота
1 (61;65]
63 1 0,01 0,0025 0,01
2 (65;69]
67 2 0,02 0,005 0,03
3 (69;73]
71 5 0,05 0,0125 0,08
4 (73;77]
75 8 0,08 0,02 0,16
5 (77;81]
79 15 0,15 0,0375 0,31
6 (81;85]
83 19 0,19 0,0475 0,5
7 (85;89]
87 18 0,18 0,045 0,68
8 (89;93]
91 9 0,09 0,0225 0,77
9 (93;97]
95 22 0,22 0,055 0,99
10 (97;101]
99 0 0 0 0,99
11 (101;105]
103 1 0,01 0,0025 1
Построим полигон относительных частот – ломанную с вершинами (xi;fi)
Построим гистограмму относительных частот – столбчатую диаграмму, основаниями прямоугольников служат частичные интервалы, а высотами – плотность относительных частот.
По накопленным относительным частотам построим эмпирическую функцию распределения:
F*x=0, x≤630,01, 63<x≤670,03, 67<x≤710,08, 71<x≤750,16, 75<x≤790,31, 79<x≤830,5, 83<x≤870,68, 87<x≤910,77, 91<x≤950,99, 95<x≤1031, x>103
Для вычисления характеристик случайной величины составим вспомогательную расчетную таблицу:
№ xi
ni
xi∙ni
(xi-x)
(xi-x)2∙ni
(xi-x)3∙ni
(xi-x)4∙ni
1 63 1 63 -21,92 480,49 -10532,26 230867,18
2 67 2 134 -17,92 642,25 -11509,17 206244,33
3 71 5 355 -13,92 968,83 -13486,14 187727,09
4 75 8 600 -9,92 787,25 -7809,53 77470,56
5 79 15 1185 -5,92 525,70 -3112,12 18423,75
6 83 19 1577 -1,92 70,04 -134,48 258,20
7 87 18 1566 2,08 77,88 161,98 336,92
8 91 9 819 6,08 332,70 2022,80 12298,63
9 95 22 2090 10,08 2235,34 22532,24 227124,93
10 99 0 0 14,08 0,00 0,00 0,00
11 103 1 103 18,08 326,89 5910,11 106854,72

8492
6447,36 -15956,6 1067606
Выборочное среднее:
mв=1n∙xi∙ni=8492100≈84,92
Выборочная дисперсия:
DВ=1n∙(xi-mв)2∙ni=6447,36100≈64,47
Исправленная выборочная дисперсия:
S2=nn-1∙DВ=10099∙64,47≈65,12
Выборочное СКО:
σ=DВ=64,47≈8,03
Исправленное выборочное СКО:
s=S2=65,12≈8,07
Коэффициент вариации:
V=σmв=8,0384,92∙100%≈9,45%
Коэффициент асимметрии:
as=(xi-x)3∙nin∙σ3=-15956,6100∙8,033≈-0,308
Коэффициент эксцесса:
εs=(xi-x)4∙nin∙σ4-3=1067606100∙8,034-3≈-0,432
Моданным является интервал с наибольшей частотой 93-97
M0=xi+h∙ni-ni-12ni-ni-1-ni+1=93+4∙22-944-9-0=93+2=94,49
Медианным является интервал, на который приходится середина ранжированного ряда
81-85
Me=xi+h∙0,5∙n-ωi-1накωiнак-ωi-1нак=81+4∙50-3150-31=81+4=85
Построим доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения:
mв-tγ∙sn<a<mв+tγ∙sn s1-q<σ<s(1+q)
tγ: 2Фtγ=γ
γ=0,95 => Фtγ=0,475 => tγ=1,96 q100;0,95=0,14
84,92-1,96∙8,07100<a<84,92+1,96∙8,07100 => 83,34<a<86,5
8,07∙1-0,14<σ<8,07∙1+0,14 => 6,94<σ<9,2
γ=0,99 => Фtγ=0,495 => tγ=2,56 q100;0,99=0,20
84,92-2,56∙8,07100<a<84,92+2,56∙8,07100 => 82,85<a<86,99
8,07∙1-0,2<σ<8,07∙1+0,2 => 6,46<σ<9,68
γ=0,999 => Фtγ=0,4995 => tγ=3,3 q100;0,99=0,27
84,92-3,3∙8,07100<a<84,92+3,3∙8,07100 => 82,26<a<87,58
8,07∙1-0,27<σ<8,07∙1+0,27 => 5,89<σ<10,25
Выдвинем и проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами:
a≈mв=84,92 σ≈s=8,07
fx=1σ2π∙e- (x-a)22σ2=18,072π∙e- (x-84,92)2128,94
Вычислим теоретические частоты попадания в интервалы по формулам:
ni'=pi∙n, pi=Фxi+1-aσ-Фxi-aσ
Объединим интервалы, содержащие менее 5 значений.
№ xi
xi+1
xi-aσ
xi+1-aσ
Фxi-aσ
Фxi+1-aσ
pi
ni'
1 61 73 -2,96 -1,48 -0,4985 -0,4302 0,0683 6,83
2 73 77 -1,48 -0,98 -0,4302 -0,3368 0,0934 9,34
3 77 81 -0,98 -0,49 -0,3368 -0,1864 0,1504 15,04
4 81 85 -0,49 0,01 -0,1864 0,0040 0,1904 19,04
5 85 89 0,01 0,51 0,0040 0,1934 0,1895 18,95
6 89 93 0,51 1,00 0,1934 0,3416 0,1482 14,82
7 93 105 1,00 2,49 0,3416 0,4936 0,1519 15,19
Вычислим значение критерия:
χнабл2=(ni-ni')2ni'
№ Интервал ni
ni'
ni-ni'
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
1 (61;73]
8 6,83 1,17 1,3689 0,20
2 (73;77]
8 9,34 -1,34 1,7956 0,19
3 (77;81]
15 15,04 -0,04 0,0016 0,00
4 (81;85]
19 19,04 -0,04 0,0016 0,00
5 (85;89]
18 18,95 -0,95 0,9025 0,05
6 (89;93]
9 14,82 -5,82 33,8724 2,29
7 (93;105]
23 15,19 7,81 60,9961 4,02

6,75
χнабл2=6,75
По таблице критических значений χ2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы: k=7-2-1=4, находим:
χкрит2=9,49
Так как χнабл2<χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается