Решите задачу Коши y''+3y'=4x+58e2x y0=0

Искомое решение имеет вид:
yx=yx+y*(x)
Составим характеристическое уравнение:
k2+3k=0
kk+3=0
Его корни равны:
k1=0 и k2=-3
Следовательно, общее решение имеет вид:
yx=C1+C2e-3x
y*(x) выберем в виде:
y*=Ax+Be2x=Axe2x+Be2x
Находим производные:
y'x=Ae2x+2Axe2x+2Be2x
y''x=2Ae2x+2Ae2x+4Axe2x+4Be2x=4Ae2x+4Axe2x+4Be2x
И подставляем в левую часть уравнения:
4Ae2x+4Axe2x+4Be2x+3*Ae2x+2Axe2x+2Be2x=4x+58e2x
4Ae2x+4Axe2x+4Be2x+3Ae2x+6Axe2x+6Be2x=4x+58e2x
7Ae2x+10Axe2x+10Be2x=4x+58e2x
Составим систему и найдем коэффициенты A и B:
10A=4,7A+10B=58.
A=25,7*25+10B=58.
A=25,10B=58-145.
A=25,10B=2765.
A=25,B=13825.
y*=25xe2x+13825e2x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
yx=C1+C2e-3x+25xe2x+13825e2x
Найдем y'(x):
y'x=-3C2e-3x+25e2x+45xe2x+27625e2x
И подставим в начальные условия:
C1+C2+13825=0,-3C2+25+27625=2.
C1+C2=-13825,-3C2+28625=2.
C1+C2=-13825,-3C2=2-28625.
C1+C2=-13825,-3C2=-23625.
C1+23675=-13825,C2=23675.
C1=-13825-23675,C2=23675.
Отсюда:
C1=-263,C2=23675.
Тогда частное решение окончательно примет вид:
y=-263+23675e-3x+25xe2x+13825e2x