Решите задачу о колебаниях струны закреплённой на концах

Уравнение ∂2u∂t2=49∂2u∂x2
линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде
Ux,t=XxT(t)
X∂2T∂t2=49∂2X∂x2T
T,,49T=X,,X=λ=const
X,,-λX=0 X≠0T,,-49λT=0 T≠0
Граничные условия дают:
u0,t=X0Tt=0
u14,t=X14Tt=0
Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям
X0=X14=0
Получим
X,,-λX=0
X0=X14=0
λ<0 λ=-p2
Характеристическое уравнение имеет вид
q2+p2=0
q=±ip
Общее решение уравнения:
X=Ccospx+Dsinpx
Граничные условия дают:
X0=C=0
X14=Dsin14p=0
sin14p=0→pn=πn14 n∈Z
Xnx=sinπn14x
Tnt=Ancosπn714t+Bnsinπn714t=Ancosπn2t+Bnsinπn2t
где An и Bn произвольные постоянные
Unx,t=XnxTn(t)
Ux,t=n=1∞Unx,t=n=1∞(Ancosπn2t+Bnsinπn2t)sinπn14x
Начальные условия позволяют определить An и Bn
Ux,0=0=n=0∞Ansinπn14x
An=2140140∙sinπn14xdx=0
∂u∂t|t=0=φx=n=1∞Bn7πn14sinπn14x=n=1∞Bnπn2sinπn14x
У нас ∂u∂t|t=0=x 0≤x<714-x 7≤x≤14
Получим
Bn=2πn707xsinπn14xdx+714(14-x)sinπn14xdx=
=27πnsinπn14x-πn14xcosπn14x πn142|07+-sinπn14x+πn14(x-14)cosπn14x πn142|714=
=2∙1967πnπ2n2sinπn147-πn147cosπn147-sinπn140+πn140cosπn140-sinπn1414+πn1414-14cosπn1414+sinπn147-πn14(7-14)cosπn147=
=56π3n3sinπn2-πn2cosπn2-sinπn+sinπn2+πn2cosπn2=
=56π3n32sinπn2=112π3n3sinπn2
Получим конечное решение
Ux,t=n=1∞(112π3n3sinπn2sinπn2t)sinπn14x
Ответ: Ux,t=n=1∞(112π3n3sinπn2sinπn2t)sinπn14x