Решить задачу Коши классическим методом

Перед нами линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения сделаем следующую замену:
y=uv, y'=u'v+uv'
Тогда подставим данные замены в исходное уравнение, получим:
u'v+uv'cos2x+uv=etg x
u'vcos2x+uv'cos2x+uv=etg x
u'vcos2x+uv'cos2x+v=etg x
Получаем систему уравнений:
v'cos2x+v=0u'vcos2x=etg x
Решаем первое уравнение системы:
v'cos2x+v=0
v'cos2x=-v
cos2xdvdx=-v
cos2xdv=-v dx
dvv=-dxcos2x
lnv=-tg x
v=e-tg x
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и решим его:
u'*e-tg x*cos2x=etg x
u'cos2x=e2tg x
du=e2tg xcos2xdx
du=12e2tg xdx
u=12e2tg x+C
Теперь делаем обратную замену и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=e-tg x*12e2 tg x+C=12etg x+Ce-tg x
Теперь находим решение задачи Коши, используя начальное условие, получаем:
y0=12etg 0+Ce-tg 0=0
12e+Ce=0
e12+C=0
12+C=0
C=-12
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
y=12etg x-12e-tg x