Решить систему дифференциальных уравнений: x'-x-2y=0y'-2x-y=1; x0=0; y0=5

Применяем преобразование Лапласа:
xt Xp
x't pXp-x0=pXp
yt Y(p)
y't pYp-y0=pYp-5
1 1p
Получаем систему алгебраических уравнений:
pXp-Xp-2Yp=0pYp-5-2Xp-Yp=1p
p-1Xp-2Yp=0-2Xp+(p-1)Yp=5p+1p
Решая по формулам Крамера, находим:
∆=p-1-2-2p-1=p-12-4=p2-2p-3=p+1p-3
∆1=0-25p+1pp-1=10p+2p
∆2=p-10-25p+1p=5p2-4p-1p
Тогда:
Xp=∆1∆=10p+2pp+1p-3
Раскладываем на сумму элементарных дробей:
Ap+Bp+1+Cp-3=Ap+1p-3+Bpp-3+Cpp+1pp+1p-3
Т.к . числитель при любом p должен равняться 10p+2, то возьмем p=0 и получим -3A=2 A=-23 . При p=-1 находим 4B=-8 B=-2, аналогично при p=3 получаем C=83