Решить систему дифференциальных уравнений методом Эйлера и операционным методом

Метод Эйлера:
Составим характеристическое уравнение системы:
2-k-2-4-k=2-k∙-k--2∙-4=-2k+k2-8=
=k2-2k-8;
D=-22-4∙1∙-8=4+32=36;
k1,2=2±62=4; -2;
Общее решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:
xt=C1λ1e4t+C2λ2e-2t,yt=C1μ1e4t+C2μ2e-2t.
Найдем коэффициенты λ1,λ2,μ1, μ2.
Подставим в характеристическое уравнение корень k1=4. Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
-2λ1-2μ1=0,-4λ1-4μ1=0.
μ1=-λ1. Задаем λ1=1, тогда μ1=-1.
Подставим в характеристическое уравнение корень k2=-2. Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
4λ2-2μ2=0,-4λ2+2μ2=0.
μ2=2λ2 . Задаем λ2=1, тогда μ2=2.
Получили общее решение системы дифференциальных уравнений:
xt=C1e4t+C2e-2t,yt=-C1e4t+2C2e-2t.
Найдем частное решение из условий x0=3, y0=1:
x0=C1e0+C2e0=3,y0=-C1e0+2C2e0=1, C1+C2=3,-C1+2C2=1,
C1=3-C2,-3-C2+2C2=1, C1=53,C2=43,
Получили частное решение дифференциального уравнения:
xt=53e4t+43e-2t,yt=-53e4t+83e-2t.
Операционный метод:
Пусть
x t→Xp;
x't→pXp-x0=pXp-3;
y t→Yp;
y't→pYp-y0=pYp-1;
Тогда исходная система уравнений при заданных начальных условиях запишется в операторной форме в следующем виде:
pXp-3=2Xp-2YppYp-1=-4Xp p-2Xp+2Yp=3,4Xp+pYp=1,
Решим систему по формулам Крамера:
∆=p-224p=p-2p-2∙4=p2-2p-8=p-4p+2;
∆x=321p=3∙p-2∙1=3p-2;
∆y=p-2341=p-2∙1-3∙4=p-2-12=p-14;
Получаем:
Xp=∆x∆=3p-2p-4p+2;
Упростим заданное изображение, представив его в виде суммы простейших дробей:
Xp=3p-2p-4p+2=Ap-4+Bp+2=Ap+2+Bp-4p-4p+2=
=A+Bp+2A-4Bp-4p+2.
Для нахождения неизвестных коэффициентов составим систему уравнений:
A+B=3,2A-4B=-2, A=53,B=43,
Значит,
Xp=53∙1p-4+43∙1p+2.
Воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
Xp→53e4t+43e-2t=xt.
Получаем:
Yp=∆y∆=p-14p-4p+2;
Упростим заданное изображение, представив его в виде суммы простейших дробей:
Yp=p-14p-4p+2=Ap-4+Bp+2=Ap+2+Bp-4p-4p+2=
=A+Bp+2A-4Bp-4p+2.
Для нахождения неизвестных коэффициентов составим систему уравнений:
A+B=1,2A-4B=-14, A=-53,B=83,
Значит,
Yp=-53∙1p-4+83∙1p+2.
Воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
Yp→-53e4t+83e-2t=yt.
Получили решение системы:
xt=53e4t+43e-2t,yt=-53e4t+83e-2t.