Решить интегральное уравнение 120tsin2t-τxτdτ =xt-1

Применяем преобразование Лапласа:
xt Xp
1 1p
Далее (учитывая, что в левой части стоит свертка функций sin2t и xt):
sin2t 2p2+4
Применяем теорему о свертке (свертке функций соответствует произведение изображений) и получаем операторное уравнение:
Xpp2+4=X(p)-1p
1-1p2+4Xp=1p
p2+3p2+4Xp=1p
Xp=p2+4pp2+3
Представляем изображение суммой дробей:
Ap+Bp+Cp2+3
Тогда:
Ap+Bp+Cp2+3=Ap2+3+Bp+Cppp2+3=A+Bp2+Cp+3App2+3≡p2+4pp2+3
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+B=1C=03A=4 A=43B=-13C=0
Получили:
Xp=43p-p3(p2+3)
Используя соотношения:
1 1p
cosat pp2+a2
Восстанавливаем оригинал и получаем решение интегрального уравнения:
xt=4-cos3t3