Решить интегральное уравнение 0tet-τxτdτ=xt+cost

Применяем преобразование Лапласа:
xt Xp
cost pp2+1
et 1p-1
И применяя теорему о свертке (свертка функций соответствует произведение изображений)
0tet-τxτdτ X(p)p-1
Получаем операторное уравнение:
X(p)p-1=Xp+pp2+1
1p-1-1Xp=pp2+1
-p-2p-1Xp=pp2+1
Xp=p-p2p2+1p-2
Представим изображение сумой дробей:
Ap+Bp2+1+Cp-2
Тогда:
Ap+Bp2+1+Cp-2=Ap+Bp-2+Cp2+1p2+1p-2=
=A+Cp2+-2A+Bp+-2B+Cp2+1p-2≡p-p2p2+1p-2
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+C=-1-2A+B=1-2B+C=0 A=-35B=-15C=-25
Получили:
Xp=-153p+1p2+1+2p-2
Используя соотношения:
e2t 1p-2
cost pp2+1
sint 1p2+1
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
xt=-3cost+sint+2e2t5