Решить дифференциальные уравнения (указав их тип)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''-y=0. Для этого составим характеристическое уравнение
λ2-1=0 и найдем его корни λ1,2=±1. Общее решение однородного уравнения будет:
yо.о.=C1ex+C2e-x.
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид fx=3x∙ex . Частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов.
Частное решение, соответствующее правой части fx=3x∙ex будем искать в виде:
yч.н.=exAx2+Bx+C.
Имеем:
yч.н.'=exAx2+Bx+C+ex2Ax+B
yч.н.''=exAx2+Bx+C+2Ax+B+ex2Ax+B+2A
Подставляем полученные выражение в неоднородное уравнение:
Ax2+Bx+C+2Ax+B+2Ax+B+2A-Ax2-Bx-C=3x
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем:
A-A=0B+2A+2A-B=3C+B+B-C+2A=0=>A=34 B=-34, C-любое, примем С=0.
Таким образом, yч.н.=34x2ex-34xex.
Следовательно, общее решение исходного уравнения есть yо.н.=yо.о.+yч.н., или
yо.н.=C1ex+C2e-x+34x2ex-34xex.
Ответ:yо.н.=C1ex+C2e-x+34x2ex-34xex.