Решить дифференциальные уравнения (указав их тип)

Подставим выражения для y и y' в заданное уравнение:
u'ν+ν'u-2uν x=x3,
νu'-2u x+ν'u=x3. (*)
Найдем функцию u как частное решение уравнения u'-2u x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными . Разделим переменные и проинтегрируем:
du2u=dxx,du2u=dxx,12lnu=lnx=>lnu=2lnx=>u=x2.
Подставляя найденную функцию u=x2 в уравнение (*), получим дифференциальное уравнение, из которого найдем функцию ν(x):
ν2x-2x2 x+ν'x2=x3,
ν'x2=x3,
ν'=x=>ν=xdx=x22+C.
Учитывая что y=u∙ν, получим общее решение исходного уравнения:
y=x22+Cx2.
Решим задачу Коши, т.е