Найдем расстояние между точкой C(5 7) и прямой AB (16y-x-55=0)

Координаты векторов:
AB=9;4;4-7;5;3=2;-1;1
AC=4;5;7-7;5;3=-3;0;4
AD=7;9; 6-7;5;3=0;4;3
BC=4;5;7-9;4;4=-5;1;3
BD=7;9; 6-9;4;4=-2;5;-2
CD=7;9; 6-4;5;7=3;-4;-1
а) плоскости ABC
Если точки A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости ABC
x-7y-5z-32-11-304=0
x-7*-1*4-0*1- y-5*2*4--3*1+ z-3*2*0--3*-1=-4x-11y-3z+92=0
б) прямой AB
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA
x-92=y-4-1=z-41
в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC
Из условия перпендикулярности DM и плоскости ABC очевидно, что нормаль плоскости является направляющим вектором искомой прямой . Так же очевидно, что D принадлежит искомой прямой
x-7-4=y-9-11=z-6-3
г) прямой CN, параллельной прямой AB
Из условия параллельности прямых AB и CN очевидно, что направляющие вектора равны
x-72=y-9-1=z-61
д) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно к прямой AB
Уравнение плоскости, проходящей через точку D(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
lx- x0+ my- y0+ nz- z0=0
Координаты точки D7;9; 6
Координаты вектора AB2;-1;1
2*x-7+-1*y-9+z-6=0
Искомое уравнение плоскости:
2x-14-y+9+z-6=0
2x-y+z-11=0
Вычислить:
е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2∙l2+m2+n2
Уравнение плоскости ABC: -4x-11y-3z+92= 0
Уравнение прямой AD:
x-70=y-54=z-33
sinγ=-4*0-11*4-3*3-42+-112+-32∙02+42+32≈0.877
γ =arcsin0.877≈1.07
ж) косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью ABC
Очевидно, что нормальным вектором для Oxy является n1=0;0;1